通过 javascript 中的动态编程释放高效解决问题的能力。
介绍
您想提高编程中解决问题的能力吗？ 动态规划（dp）是一种强大的技术，可以帮助您高效地解决复杂问题。本初学者指南将通过 javascript 示例向您介绍动态编程，使其易于掌握并应用于实际场景。
您将学到什么：
- 动态规划的基本概念
- 记忆和制表之间的差异
- 如何用 javascript 实现 dp 并结合实例
- 识别 dp 问题并应用正确策略的技巧
什么是动态规划？
动态规划是一种优化技术，用于通过将问题分解为更简单的子问题来解决问题。当问题涉及重叠子问题和最优子结构时，它特别有用。
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关键概念
最优子结构：如果问题的最优解包含其子问题的最优解，则问题表现出最优子结构。
重叠子问题：问题可以分解为多次重复使用的子问题。
记忆与制表
动态编程可以通过两种方式实现：记忆（自上而下的方法）和制表（自下而上的方法）。
记忆（自上而下）
记忆化涉及存储昂贵的函数调用的结果，并在相同的输入再次发生时返回缓存的结果。
何时使用：
- 自然递归结构
- 需要避免冗余计算
javascript 示例：具有记忆功能的斐波那契数列
function fibmemo(n, memo = {}) {
if (n <= 1) return n;
if (memo[n]) return memo[n];
memo[n] = fibmemo(n - 1, memo) + fibmemo(n - 2, memo);
return memo[n];
}
// example usage:
console.log(fibmemo(10)); // output: 55
制表（自下而上）
制表通过从基本情况开始迭代地填充表格（数组）来解决问题。
何时使用：
- 首选迭代方法
- 所有子问题都需要至少解决一次
javascript 示例：带有制表的斐波那契数列
function fibtab(n) {
if (n <= 1) return n;
const fibtable = [0, 1];
for (let i = 2; i <= n; i++) {
fibtable[i] = fibtable[i - 1] + fibtable[i - 2];
}
return fibtable[n];
}
// example usage:
console.log(fibtab(10)); // output: 55
在 javascript 中实现动态编程
让我们探索如何应用动态编程来使用 javascript 解决实际问题。
1. 爬楼梯问题
问题陈述：
你正在爬一个有 n 级台阶的楼梯。您一次可以爬 1 或 2 级台阶。你可以通过多少种不同的方式登上顶峰？
具有记忆功能的动态编程解决方案：
function climbstairs(n, memo = {}) {
if (n <= 2) return n;
if (memo[n]) return memo[n];
memo[n] = climbstairs(n - 1, memo) + climbstairs(n - 2, memo);
return memo[n];
}
// example usage:
console.log(climbstairs(5)); // output: 8
说明：
- 问题有重叠的子问题（多次计算climbstairs(n - 1) 和climbstairs(n - 2)）。
- 记忆化存储这些结果，减少冗余计算。
2. 硬币找零问题
问题陈述：
给定一系列硬币面额和总金额，找到达到该金额所需的最少硬币数量。
带制表的动态规划解决方案：
function coinchange(coins, amount) {
const dp = array(amount + 1).fill(infinity);
dp[0] = 0;
for (let coin of coins) {
for (let i = coin; i <= amount; i++) {
dp[i] = math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
}
}
return dp[amount] === infinity ? -1 : dp[amount];
}
// example usage:
console.log(coinchange([1, 2, 5], 11)); // output: 3
说明：
- 我们建立一个表 dp，其中每个条目 dp[i] 代表数量 i 所需的最少硬币。
- 通过迭代更新dp，我们找到最优解。
认识动态规划问题
动态编程并不总是首选解决方案。以下是识别 dp 问题的方法：
最优子结构：问题能否分解为子问题，其解决方案会导致最优解？
重叠子问题：您是否多次解决同一个子问题？
常见 dp 问题类别：
- 斐波那契数列
- 爬楼梯
- 背包问题
- 最长公共子序列
- 矩阵链乘法
提示和最佳实践
从递归解决方案开始：在优化之前递归地理解问题。
清楚地定义状态：识别代表子问题状态的变量。
选择正确的方法：根据问题的性质在记忆和制表之间做出决定。
优化空间复杂性：尽可能通过仅存储必要的数据来减少空间使用。
使用小输入进行测试：使用小测试用例验证您的解决方案以确保正确性。
其他 javascript 示例
最长公共子序列 (lcs)
问题陈述：
给定两个字符串，找到它们的最长公共子序列的长度。
动态规划解决方案：
function lcs(str1, str2) {
const m = str1.length;
const n = str2.length;
const dp = Array(m + 1).fill(null).map(() => Array(n + 1).fill(0));
for (let i = 1; i <= m; i++) {
for (let j = 1; j <= n; j++) {
if (str1[i - 1] === str2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
// Example Usage:
console.log(lcs("AGGTAB", "GXTXAYB")); // Output: 4
结论
动态规划是一种有效解决复杂问题的宝贵技术。通过理解核心概念并练习 javascript 示例，您可以增强解决问题的工具包。
要点：
- 动态规划通过存储子问题的解决方案进行优化。
- 根据问题在记忆和制表之间进行选择。
- 实践对于有效认识和解决dp问题至关重要。
常见问题解答
q1：什么时候应该使用动态规划？
a1：当问题可以分解为具有最佳子结构的重叠子问题时，使用动态规划。
问题2：记忆和制表有什么区别？
a2：记忆化是一种自上而下的方法，在递归期间存储结果。制表是一种自下而上的方法，迭代地构建表格。
q3：如何识别动态规划问题？
a3：寻找解决方案涉及根据先前计算做出决策以及子问题重复的问题。
进一步阅读
-
书籍：
- cormen、leiserson、rivest 和 stein 的算法简介
- robert sedgewick 和 kevin wayne 的算法
-
在线资源：
- leetcode 上的动态规划
- geeksforgeeks 动态编程教程
通过掌握 javascript 动态编程技术来提高您的编码技能。从今天开始应用这些策略来更有效地解决复杂问题！
