超越递归原语的函数的跳板？阿克曼彼得函数的实现

本文探讨了如何利用蹦床技术优化阿克曼函数的计算，避免堆栈溢出问题。阿克曼函数因其极高的计算复杂度而闻名，传统的递归实现很容易导致堆栈溢出。

阿克曼函数的递归实现

阿克曼函数的标准递归定义如下：

int ackermannpeter(int m, int n) {
    if (m == 0) {
        return n + 1;
    } else if (n == 0) {
        return ackermannpeter(m - 1, 1);
    }
    return ackermannpeter(m - 1, ackermannpeter(m, n - 1));
}

当参数m和n较大时，该函数的递归深度会迅速增加，导致堆栈溢出。

使用蹦床技术优化阿克曼函数

蹦床是一种编程技巧，它将递归调用转换为迭代，从而避免堆栈溢出。 核心思想是将递归调用封装成一个延续（continuation），然后在循环中逐步执行这些延续。

首先定义延续接口：

interface continuation {
    boolean finished();
    int value();
    continuation step();

    static continuation found(int v) { /* ... */ }
    static continuation goon(Supplier nextstep) { /* ... */ }
}

然后，使用蹦床函数 compute 来迭代执行延续：

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static int compute(continuation c) {
    while (!c.finished()) {
        c = c.step();
    }
    return c.value();
}

接下来，将阿克曼函数改写成使用延续的方式：

private static continuation ackermannpeter(int m, continuation c) {
    if (!c.finished()) {
        return continuation.goon(() -> {
            final var next = c.step();
            return continuation.goon(() -> ackermannpeter(m, next));
        });
    }
    int n = c.value();
    if (m == 0) {
        return continuation.found(n + 1);
    } else if (n == 0) {
        return continuation.goon(() -> ackermannpeter(m - 1, continuation.found(1)));
    }
    return continuation.goon(() ->
        ackermannpeter(m - 1,
            continuation.goon(() -> ackermannpeter(m, continuation.found(n - 1)
        )))
    );
}

这个版本将递归调用替换为延续的创建和传递，从而避免了堆栈溢出。

添加记忆化进一步优化

为了进一步提高效率，可以添加记忆化机制，缓存已计算的结果。 可以使用一个HashMap来存储计算结果，键为(m, n)的组合，值是计算结果。

private static continuation ackermannpetermemo(int m, continuation c, HashMap paMemory) {
    // ... (记忆化逻辑) ...
}

static long key(int m, int n) {
    return ((long)m << 32) | n;
}

通过记忆化，可以避免重复计算，显著减少计算时间。 文中给出的完整代码展示了如何将记忆化集成到蹦床实现中。 通过将全局内存作为参数传递，避免了全局变量的使用，提高了代码的可重用性和可测试性。 文中还详细解释了如何使用64位long型整数来高效地表示(m,n)组合作为HashMap的键。

最终的优化版本通过结合蹦床和记忆化技术，能够高效地计算阿克曼函数，即使对于较大的参数值也能避免堆栈溢出，并显著提高计算速度。