如何判断 SymPy 解析的函数是否为内置函数？

本文介绍如何区分 SymPy 中通过 sympify() 解析得到的函数是 SymPy 内置函数还是用户自定义的未定义函数。通过 AppliedUndef 类，可以有效地识别表达式中的未定义函数，从而区分 SymPy 可以识别和处理的函数。

当使用 sympify() 函数解析包含函数的表达式时，SymPy 会尝试识别这些函数。对于内置函数，如 sin(x)，SymPy 可以直接使用、求值和求解。但对于未定义的函数，如 foo(y)，SymPy 会将其视为一个未知的函数对象。因此，需要一种方法来区分这两种类型的函数。

SymPy 提供了一个 AppliedUndef 类，当调用未定义的函数时，会创建该类的实例。通过检查表达式中的函数是否为 AppliedUndef 的实例，可以判断该函数是否为 SymPy 内置函数。

以下是一个示例，展示了如何使用 AppliedUndef 来区分 SymPy 内置函数和未定义函数：

import sympy as sp
from sympy.core.function import AppliedUndef, Function

expr = sp.sympify("sin(x) + foo(y)")

# 获取表达式中的所有函数
all_functions = expr.atoms(Function)
print(f"All functions: {all_functions}")

# 获取表达式中的未定义函数
undefined_functions = expr.atoms(AppliedUndef)
print(f"Undefined functions: {undefined_functions}")

# 获取表达式中的已定义函数（SymPy 内置函数）
defined_functions = all_functions - undefined_functions
print(f"Defined functions: {defined_functions}")

代码解释：

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1. 首先，导入 sympy 库以及 AppliedUndef 和 Function 类。
2. 使用 sympify() 函数将字符串 "sin(x) + foo(y)" 解析为 SymPy 表达式。
3. expr.atoms(Function) 返回表达式中所有 Function 类的实例，包括 sin(x) 和 foo(y)。
4. expr.atoms(AppliedUndef) 返回表达式中所有 AppliedUndef 类的实例，即未定义的函数，这里只有 foo(y)。
5. 通过集合运算 all_functions - undefined_functions，可以得到已定义的函数，即 SymPy 内置函数，这里是 sin(x)。

输出结果：

All functions: {foo(y), sin(x)}
Undefined functions: {foo(y)}
Defined functions: {sin(x)}

注意事项：

• AppliedUndef 类只适用于通过 sympify() 解析得到的表达式。
• 这种方法可以有效地识别表达式中的未定义函数，从而进行相应的处理。

总结：

通过 AppliedUndef 类，可以方便地判断 SymPy 解析的函数是否为内置函数。这在需要对表达式中的函数进行特定处理时非常有用，例如，只对 SymPy 内置函数进行求值或求解，而对未定义函数进行特殊处理。