本文针对一个评估问题，即统计两个大小为N的团队中，团队一获胜的回合数。通过将问题转化为寻找差值数组中和大于0的数对数量，并利用二分查找优化算法，将原始O(n^2)的时间复杂度降低到O(n log n)，提供了一个更高效的解决方案。
问题分析与转化
原始问题要求比较两个团队的队员技能值，统计团队一获胜的回合数。获胜条件是 group1[i] + group1[j] > group2[i] + group2[j]，其中 0
为了优化算法，可以将比较条件进行转换：
group1[i] + group1[j] > group2[i] + group2[j] 等价于 (group1[i] - group2[i]) + (group1[j] - group2[j]) > 0
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定义一个新的数组 differences，其中 differences[i] = group1[i] - group2[i]。那么问题就转化为：在 differences 数组中，寻找有多少对 (differences[i], differences[j]) 的和大于 0。
优化算法：二分查找
转化后的问题可以使用排序和二分查找来解决，从而降低时间复杂度。
- 计算差值数组： 首先，计算 group1 和 group2 的差值数组 differences。
- 排序差值数组： 对 differences 数组进行排序。排序的时间复杂度为 O(n log n)。
- 统计数对： 遍历排序后的 differences 数组。对于每个元素 differences[i]，在数组中查找有多少个元素 differences[j] 满足 differences[i] + differences[j] > 0，即 differences[j] > -differences[i]。可以使用二分查找来快速找到满足条件的元素个数。
以下是 Python 代码实现：
import bisect
def countWins(group1, group2):
"""
统计 team1 获胜的回合数，优化版本。
Args:
group1: team1 的技能值数组。
group2: team2 的技能值数组。
Returns:
team1 获胜的回合数。
"""
wins = 0
differences = [x - y for x, y in zip(group1, group2)]
differences.sort()
a = differences
n = len(differences)
for i in range(n):
if a[i] <= 0:
continue
j = bisect.bisect_left(a, -a[i] + 1)
wins += i - j
return wins
def main():
arr1 = [1, 3, 4, 6]
arr2 = [0, 1, 4, 7]
print(countWins(arr1, arr2))
if __name__ == "__main__":
main()代码解释：
- countWins(group1, group2) 函数实现了优化的算法。
- differences = [x - y for x, y in zip(group1, group2)] 计算了差值数组。
- differences.sort() 对差值数组进行排序。
- bisect.bisect_left(a, -a[i] + 1) 使用二分查找找到第一个大于 -a[i] 的元素的索引。
- wins += i - j 计算满足条件的数对数量。
示例：
对于输入 group1 = [1, 3, 4, 6] 和 group2 = [0, 1, 4, 7]，程序的输出为 4。
时间复杂度分析
- 计算差值数组：O(n)
- 排序差值数组：O(n log n)
- 遍历数组并进行二分查找：O(n log n)
因此，总的时间复杂度为 O(n log n)，相比于原始的 O(n^2) 算法，效率更高。
注意事项与总结
- 本算法的关键在于将原始问题转化为寻找差值数组中和大于 0 的数对数量。
- 利用排序和二分查找可以有效地降低时间复杂度。
- bisect 模块提供了高效的二分查找功能。
- 虽然寻找数对的算法可以进一步优化，但时间复杂度仍然是 O(n log n)，优化效果有限。
通过以上优化，可以更高效地解决双数组比较问题，尤其是在数据量较大时，性能提升更加明显。
