1. 理解线段交点的数学原理
在游戏开发中，碰撞检测是实现物理交互的关键。对于pong游戏，我们需要判断球的运动轨迹（可以视为一条线段）是否与挡板的边缘（也可以视为一条线段）相交。这涉及到基本的二维几何代数知识。
1.1 直线方程的表示
一条通过两点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 的直线，可以表示为一般式 Ax + By + C = 0。 其中，系数 A, B, C 可以通过以下方式计算：
- A = y1 - y2
- B = x2 - x1
- C = x1 * y2 - x2 * y1
因此，直线方程为 (y1 - y2) * x + (x2 - x1) * y + (x1 * y2 - x2 * y1) = 0。
1.2 两直线交点的计算
假设我们有两条直线，其方程分别为：
- A1 * x + B1 * y + C1 = 0
- A2 * x + B2 * y + C2 = 0
我们可以通过解这个二元一次方程组来找到它们的交点 (x, y)。 使用克莱姆法则（Cramer's Rule）或代入消元法，可以得到交点的坐标：
- x = (C2 * B1 - C1 * B2) / (A1 * B2 - A2 * B1)
- y = (C1 * A2 - C2 * A1) / (A1 * B2 - A2 * B1)
重要提示： 如果分母 (A1 * B2 - A2 * B1) 为零，则表示这两条直线平行（或重合），没有唯一的交点。
1.3 线段交点的判断
上述方法计算的是无限延长直线的交点。但在实际游戏中，我们需要判断的是线段是否相交。这意味着即使直线相交，我们还需要额外检查这个交点是否落在两条线段的有效范围内。
对于交点 (x, y) 和线段 P1(x1, y1) - P2(x2, y2)，判断 (x, y) 是否在线段上的条件是：
- min(x1, x2)
- min(y1, y2)
只有当交点同时满足两条线段的范围条件时，才认为线段发生了实际交点。
2. 在Android Pong游戏中的应用
在Pong游戏中，球的运动轨迹是当前帧从 (oldBallX, oldBallY) 到 (ballX, ballY) 的一条线段。挡板的碰撞边缘也是一条线段。
2.1 获取线段端点坐标
球的运动轨迹线段：
- 点1: (oldBallX, oldBallY)
- 点2: (ballX, ballY)
挡板的碰撞边缘线段： 以右侧挡板为例，其绘制代码为 canvas.drawRect(7 * screenWidth / 8, rPaddle * screenHeight + halfPaddle, 7 * screenWidth / 8 + 15, rPaddle * screenHeight - halfPaddle, dark); 这表示一个矩形，其左边缘X坐标为 7 * screenWidth / 8，右边缘X坐标为 7 * screenWidth / 8 + 15。Y坐标范围是从 rPaddle * screenHeight - halfPaddle 到 rPaddle * screenHeight + halfPaddle。
当球从左侧撞击右挡板时，碰撞发生在右挡板的左边缘。 所以，右挡板的碰撞线段为：
- 点1: (7 * screenWidth / 8, rPaddle * screenHeight - halfPaddle)
- 点2: (7 * screenWidth / 8, rPaddle * screenHeight + halfPaddle)
同理，左挡板的碰撞线段为：
- 点1: (screenWidth / 8 + 15, lPaddle * screenHeight - halfPaddle)
- 点2: (screenWidth / 8 + 15, lPaddle * screenHeight + halfPaddle)
3. 示例代码实现
我们将创建一个辅助类或方法来处理线段交点计算。
import android.graphics.PointF; // 使用PointF处理浮点坐标
public class LineSegmentIntersectionUtil {
/**
* 计算通过两点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 的直线方程系数 A, B, C。
* 直线方程形式为 Ax + By + C = 0。
* @param p1 第一个点
* @param p2 第二个点
* @return 包含 {A, B, C} 的浮点数组
*/
public static float[] getLineCoefficients(PointF p1, PointF p2) {
float A = p1.y - p2.y;
float B = p2.x - p1.x;
float C = p1.x * p2.y - p2.x * p1.y;
return new float[]{A, B, C};
}
/**
* 计算两条直线 Ax + By + C = 0 的交点。
* @param line1Coeffs 第一条直线的系数 {A1, B1, C1}
* @param line2Coeffs 第二条直线的系数 {A2, B2, C2}
* @return 交点 PointF，如果直线平行或重合则返回 null
*/
public static PointF getLineIntersection(float[] line1Coeffs, float[] line2Coeffs) {
float A1 = line1Coeffs[0], B1 = line1Coeffs[1], C1 = line1Coeffs[2];
float A2 = line2Coeffs[0], B2 = line2Coeffs[1], C2 = line2Coeffs[2];
float determinant = A1 * B2 - A2 * B1;
// 如果 determinant 接近于零，说明直线平行或重合
if (Math.abs(determinant) < 1e-6) { // 使用一个小的 epsilon 值进行浮点数比较
return null;
}
float intersectX = (C2 * B1 - C1 * B2) / determinant;
float intersectY = (C1 * A2 - C2 * A1) / determinant;
return new PointF(intersectX, intersectY);
}
/**
* 判断一个点是否在线段上。
* @param point 要检查的点
* @param s1 线段的第一个端点
* @param s2 线段的第二个端点
* @return 如果点在线段上则返回 true，否则返回 false
*/
public static boolean isPointOnSegment(PointF point, PointF s1, PointF s2) {
// 检查点是否在矩形包围盒内
boolean inXRange = (point.x >= Math.min(s1.x, s2.x) - 1e-6 && point.x <= Math.max(s1.x, s2.x) + 1e-6);
boolean inYRange = (point.y >= Math.min(s1.y, s2.y) - 1e-6 && point.y <= Math.max(s1.y, s2.y) + 1e-6);
return inXRange && inYRange;
}
/**
* 计算两条线段的交点。
* @param seg1P1 第一条线段的第一个端点
* @param seg1P2 第一条线段的第二个端点
* @param seg2P1 第二条线段的第一个端点
* @param seg2P2 第二条线段的第二个端点
* @return 如果线段相交则返回交点 PointF，否则返回 null
*/
public static PointF getSegmentIntersection(PointF seg1P1, PointF seg1P2, PointF seg2P1, PointF seg2P2) {
float[] line1Coeffs = getLineCoefficients(seg1P1, seg1P2);
float[] line2Coeffs = getLineCoefficients(seg2P1, seg2P2);
PointF intersection = getLineIntersection(line1Coeffs, line2Coeffs);
if (intersection == null) {
return null; // 直线平行或重合
}
// 检查交点是否同时在线段1和线段2上
boolean onSegment1 = isPointOnSegment(intersection, seg1P1, seg1P2);
boolean onSegment2 = isPointOnSegment(intersection, seg2P1, seg2P2);
if (onSegment1 && onSegment2) {
return intersection;
} else {
return null; // 交点不在至少一个线段上
}
}
}在 PongView 的 update() 或 collisionCheck() 方法中集成：
// 在 PongView 类中添加或修改 collisionCheck 方法
protected void collisionCheck() {
// ... 现有的边界碰撞检测 ...
// 定义球的运动轨迹线段
PointF ballPathP1 = new PointF(oldBallX, oldBallY);
PointF ballPathP2 = new PointF(ballX, ballY);
// 获取右挡板的碰撞边缘线段
// 注意：rPaddle * screenHeight 是挡板中心的Y坐标
// 挡板的左边缘X坐标
float rPaddleEdgeX = 7 * screenWidth / 8;
PointF rPaddleSegP1 = new PointF(rPaddleEdgeX, rPaddle * screenHeight - halfPaddle);
PointF rPaddleSegP2 = new PointF(rPaddleEdgeX, rPaddle * screenHeight + halfPaddle);
// 获取左挡板的碰撞边缘线段
// 挡板的右边缘X坐标
float lPaddleEdgeX = screenWidth / 8 + 15;
PointF lPaddleSegP1 = new PointF(lPaddleEdgeX, lPaddle * screenHeight - halfPaddle);
PointF lPaddleSegP2 = new PointF(lPaddleEdgeX, lPaddle * screenHeight + halfPaddle);
// 检查与右挡板的碰撞
PointF intersectionWithRPaddle = LineSegmentIntersectionUtil.getSegmentIntersection(
ballPathP1, ballPathP2, rPaddleSegP1, rPaddleSegP2);
if (intersectionWithRPaddle != null) {
// 球与右挡板发生碰撞
ballSpeedX *= -1.0f; // 反转X方向速度
// 可以根据交点位置微调球的位置，防止穿透
// ballX = intersectionWithRPaddle.x - (ballX - oldBallX); // 简单的回溯
// pip.start(); // 播放音效
Log.d(TAG, "Collision with Right Paddle at: " + intersectionWithRPaddle.x + ", " + intersectionWithRPaddle.y);
}
// 检查与左挡板的碰撞
PointF intersectionWithLPaddle = LineSegmentIntersectionUtil.getSegmentIntersection(
ballPathP1, ballPathP2, lPaddleSegP1, lPaddleSegP2);
if (intersectionWithLPaddle != null) {
// 球与左挡板发生碰撞
ballSpeedX *= -1.0f; // 反转X方向速度
// 可以根据交点位置微调球的位置
// pip.start(); // 播放音效
Log.d(TAG, "Collision with Left Paddle at: " + intersectionWithLPaddle.x + ", " + intersectionWithLPaddle.y);
}
// ... 其他碰撞检测 ...
}4. 注意事项与优化
- 浮点数精度问题： 在进行浮点数比较时，直接使用 == 或 != 可能导致错误。应使用一个很小的容差值（epsilon，例如 1e-6）来判断两个浮点数是否“相等”或“接近于零”，如 Math.abs(a - b)
- 球体与矩形碰撞的简化： 上述实现将球视为一个点，将挡板边缘视为一条线段。更精确的碰撞检测应考虑球的半径和挡板的厚度。例如，可以将挡板视为一个矩形，球视为一个圆形，进行圆形-矩形碰撞检测。或者，将球的运动轨迹扩展为“扫过的”矩形，与挡板矩形进行扫掠碰撞检测（Swept AABB）。
- 时间步进与穿透： 在快速移动的游戏中，如果每帧只检查当前位置，球可能会在一次更新中“跳过”挡板，导致检测不到碰撞（穿透）。使用球的 (oldBallX, oldBallY) 和 (ballX, ballY) 形成的线段进行碰撞检测，可以有效缓解这个问题，这是一种简化的连续碰撞检测（Continuous Collision Detection, CCD）。
- 碰撞响应： 找到交点后，可以利用交点的位置来更精确地调整球的位置，使其恰好位于碰撞点上，然后反弹。这有助于避免球卡在挡板内部或出现视觉上的穿透。
- 代码组织： 将几何计算封装在独立的工具类中，可以提高代码的可读性和复用性。
5. 总结
通过理解并应用二维几何中的线段交点计算原理，我们可以为Android Pong游戏实现精确的球与挡板碰撞检测。从直线方程的推导到线段交点的判断，每一步都至关重要。结合提供的Java代码示例，开发者可以轻松地将这些数学概念转化为实际的游戏逻辑，从而提升游戏的物理真实感和玩家体验。在实际开发中，还需注意浮点数精度、碰撞模型简化以及时间步进带来的潜在问题，并根据需求进行相应的优化。
