多项式的数组表示法
在计算机科学中，表示多项式有多种方法，但对于密集型多项式（即大多数系数不为零的多项式），使用数组来存储系数是一种非常直观和高效的方式。我们通常采用以下约定：
- 使用一个 double 类型的数组（或 int 类型，取决于系数的性质）。
- 数组的索引 i 代表变量 x 的幂次 i。
- coefficients[i] 存储 x^i 项的系数。
例如：
- 多项式 2x^3 + 3x^2 + 2 可以表示为数组 [2.0, 0.0, 3.0, 2.0]。
- coefficients[0] = 2.0 (对应 x^0，即常数项)
- coefficients[1] = 0.0 (对应 x^1)
- coefficients[2] = 3.0 (对应 x^2)
- coefficients[3] = 2.0 (对应 x^3)
- 多项式 2x^2 + 6 可以表示为数组 [6.0, 0.0, 2.0]。
- coefficients[0] = 6.0 (对应 x^0)
- coefficients[1] = 0.0 (对应 x^1)
- coefficients[2] = 2.0 (对应 x^2)
这种表示法的优势在于，相同幂次的系数在数组中处于相同的索引位置，这极大地简化了多项式的加法运算。
多项式加法的核心原理
多项式加法的数学原理是合并同类项，即只将具有相同幂次的项的系数相加。例如： (2x^3 + 3x^2 + 2) + (2x^2 + 6)= 2x^3 + (3x^2 + 2x^2) + (2 + 6)= 2x^3 + 5x^2 + 8
在数组表示中，这转化为对应索引位置的元素相加。由于两个多项式的长度可能不同（即最高幂次不同），我们需要创建一个新的结果数组，其长度应足以容纳最高幂次项。较短的多项式可以被视为在更高幂次处系数为零。
Java实现多项式加法
实现多项式加法的关键在于创建一个方法，接收两个表示多项式的系数数组，并返回一个表示它们和的新系数数组。
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实现步骤：
- 确定结果数组长度： 结果多项式的最高幂次将是两个输入多项式中最高幂次的最大值。因此，结果数组的长度应为 max(poly1.length, poly2.length)。
- 初始化结果数组： 创建一个新数组，长度为上一步确定的大小，并用零填充。
- 逐位相加： 遍历两个输入数组，将 poly1[i] 和 poly2[i] 的值加到 result[i] 中。需要注意的是，遍历不能超出任一输入数组的边界。
示例代码
以下是一个完整的Java类，展示了如何实现多项式加法，并包括将数组表示转换回字符串形式的辅助方法，以便于结果验证。
import java.util.Arrays;
public class PolynomialOperations {
/**
* 将两个多项式相加。
* 多项式由系数数组表示，其中 array[i] 是 x^i 的系数。
*
* @param poly1 第一个多项式的系数数组。
* @param poly2 第二个多项式的系数数组。
* @return 表示两个多项式之和的新系数数组。
*/
public static double[] addPolynomials(double[] poly1, double[] poly2) {
// 确定结果多项式的最大长度
int maxLength = Math.max(poly1.length, poly2.length);
double[] result = new double[maxLength];
// 遍历并相加对应幂次的系数
for (int i = 0; i < maxLength; i++) {
double coeff1 = (i < poly1.length) ? poly1[i] : 0.0;
double coeff2 = (i < poly2.length) ? poly2[i] : 0.0;
result[i] = coeff1 + coeff2;
}
// 移除结果数组末尾的零（可选，使表示更紧凑）
return trimZeros(result);
}
/**
* 移除多项式系数数组末尾的零，除非多项式本身为零。
*
* @param polynomial 系数数组。
* @return 移除末尾零后的新系数数组。
*/
private static double[] trimZeros(double[] polynomial) {
int lastNonZero = polynomial.length - 1;
while (lastNonZero > 0 && polynomial[lastNonZero] == 0.0) {
lastNonZero--;
}
// 如果所有系数都是0，则返回一个包含单个0的数组
if (lastNonZero == 0 && polynomial[0] == 0.0) {
return new double[]{0.0};
}
return Arrays.copyOf(polynomial, lastNonZero + 1);
}
/**
* 将系数数组格式化为可读的多项式字符串。
*
* @param polynomial 系数数组。
* @return 多项式字符串表示。
*/
public static String formatPolynomial(double[] polynomial) {
if (polynomial == null || polynomial.length == 0) {
return "0";
}
StringBuilder sb = new StringBuilder();
boolean firstTerm = true;
// 从最高次项开始遍历，以便输出更自然
for (int i = polynomial.length - 1; i >= 0; i--) {
double coeff = polynomial[i];
if (coeff == 0.0) {
continue; // 跳过零系数项
}
if (!firstTerm) {
sb.append(coeff > 0 ? " + " : " - ");
} else {
if (coeff < 0) {
sb.append("-");
}
}
double absCoeff = Math.abs(coeff);
if (i == 0) { // 常数项
sb.append(String.format("%.1f", absCoeff));
} else if (i == 1) { // x^1 项
if (absCoeff != 1.0) { // 系数不为1时才显示
sb.append(String.format("%.1f", absCoeff));
}
sb.append("x");
} else { // x^i (i > 1) 项
if (absCoeff != 1.0) { // 系数不为1时才显示
sb.append(String.format("%.1f", absCoeff));
}
sb.append("x^").append(i);
}
firstTerm = false;
}
if (sb.length() == 0) {
return "0"; // 如果所有项都为零
}
return sb.toString();
}
public static void main(String[] args) {
// 原始问题中的多项式：
// poly1 = "2x^3 + 3x^2 + 2"; -> {2 (x^0), 0 (x^1), 3 (x^2), 2 (x^3)}
// poly2 = "2x^2 + 6"; -> {6 (x^0), 0 (x^1), 2 (x^2)}
double[] poly1 = {2.0, 0.0, 3.0, 2.0}; // 2x^3 + 3x^2 + 2
double[] poly2 = {6.0, 0.0, 2.0}; // 2x^2 + 6
System.out.println("多项式1: " + formatPolynomial(poly1));
System.out.println("多项式2: " + formatPolynomial(poly2));
double[] sumPoly = addPolynomials(poly1, poly2);
System.out.println("它们的和: " + formatPolynomial(sumPoly)); // 预期: 2x^3 + 5x^2 + 8.0
// 另一个示例
double[] pA = {1.0, -2.0, 3.0}; // 3x^2 - 2x + 1
double[] pB = {5.0, 2.0}; // 2x + 5
System.out.println("\n多项式A: " + formatPolynomial(pA));
System.out.println("多项式B: " + formatPolynomial(pB));
double[] sumAB = addPolynomials(pA, pB);
System.out.println("它们的和: " + formatPolynomial(sumAB)); // 预期: 3x^2 + 6.0
}
}输出结果：
多项式1: 2.0x^3 + 3.0x^2 + 2.0 多项式2: 2.0x^2 + 6.0 它们的和: 2.0x^3 + 5.0x^2 + 8.0 多项式A: 3.0x^2 - 2.0x + 1.0 多项式B: 2.0x + 5.0 它们的和: 3.0x^2 + 6.0
注意事项与优化
-
系数类型选择：
- 如果多项式系数总是整数，可以使用 int[] 或 long[] 数组。
- 如果系数可能包含小数，double[] 是更合适的选择。
-
稀疏多项式：
- 上述数组表示法对于“密集”多项式（即大多数系数不为零）非常有效。
- 对于“稀疏”多项式（即许多系数为零），数组中会存在大量零值，造成内存浪费。在这种情况下，使用链表（例如，存储 (系数, 幂次) 对的节点）或哈希表（Map
，其中键是幂次，值是系数）可能更高效。
-
Polynomial 类的封装：
- 在更复杂的应用中，建议创建一个 Polynomial 类来封装系数数组以及所有相关操作（加法、减法、乘法、求导、求值等）。
