本文旨在提供一种使用 PHP 语言解决“计算图中边端点可能的最大和”问题的详细教程。该问题涉及图的顶点和边，目标是为每个顶点分配权重，使得所有边的端点权重之和最大化。本文将深入解析算法思路，并提供可执行的 PHP 代码示例，同时也会讨论一些注意事项。
问题描述
给定一个图，由 N 个顶点和一些边组成。每条边连接两个顶点 A[i] 和 B[i]。目标是为每个顶点分配一个权重，权重范围是 1 到 N，每个权重只能使用一次。目的是最大化所有边的端点权重之和。
算法思路
核心思想是贪心算法。要使总和最大化，应该将最大的权重分配给出现次数最多的顶点。
- 统计顶点出现次数： 遍历所有边，统计每个顶点在所有边中出现的次数。
- 权重分配： 将顶点按照出现次数降序排列。然后，从最大的权重 N 开始，依次分配给出现次数最多的顶点。
- 计算总和： 遍历所有边，计算每条边的端点权重之和，并将所有边的权重和加起来。
PHP 代码实现
$val) {
if (!isset($vertexCount[$val])) {
$vertexCount[$val] = 0;
}
$vertexCount[$val] += 1;
}
foreach ($B as $k => $val) {
if (!isset($vertexCount[$val])) {
$vertexCount[$val] = 0;
}
$vertexCount[$val] += 1;
}
if (count($vertexCount) < $N) {
for ($i = 1; $i <= $N; $i++){
if(!isset($vertexCount[$i])){
$vertexCount[$i] = 0;
}
}
}
arsort($vertexCount); // 按照出现次数降序排列
$weightArr = [];
$tn = $N;
foreach ($vertexCount as $vertex => $count) {
$weightArr[$vertex] = $tn;
$tn--;
}
$sum = 0;
foreach ($A as $k => $val) {
$sum += $weightArr[$A[$k]] + $weightArr[$B[$k]];
}
return $sum;
}
// 示例
$N = 5;
$A = [2, 2, 1, 2];
$B = [1, 3, 4, 4];
$result = solution($N, $A, $B);
echo "Maximum sum: " . $result . PHP_EOL; // 输出：Maximum sum: 26
$N = 4;
$A = [1, 2, 3, 4];
$B = [2, 3, 4, 1];
$result = solution($N, $A, $B);
echo "Maximum sum: " . $result . PHP_EOL; // 输出：Maximum sum: 20
?>代码解释：
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- solution(int $N, array $A, array $B) 函数接收顶点数量 N 和边列表 A 和 B 作为输入。
- 首先进行输入验证，确保 A 和 B 的长度相同，并且 N 是整数。
- $vertexCount 数组用于统计每个顶点的出现次数。
- arsort($vertexCount) 函数按照出现次数降序排列顶点。
- $weightArr 数组用于存储每个顶点的权重。
- 循环遍历已排序的顶点，从 N 开始依次分配权重。
- 最后，遍历所有边，计算每条边的端点权重之和，并将所有边的权重和加起来，得到最大总和。
注意事项
- 输入验证： 确保输入数据的有效性，例如 A 和 B 数组的长度必须相等。
- 顶点数量： 如果实际出现的顶点数量小于 N，需要确保所有顶点都有对应的权重，即使它们的出现次数为 0。
- 性能优化： 对于大规模图，可以考虑使用更高效的数据结构和算法，例如使用优先队列来维护顶点出现次数。
- 边界情况： 需要考虑一些边界情况，例如当 N 为 1 或图为空时的情况。
总结
本文详细介绍了如何使用 PHP 解决“计算图中边端点可能的最大和”的问题。通过贪心算法，将最大的权重分配给出现次数最多的顶点，可以有效地最大化所有边的端点权重之和。提供的 PHP 代码示例可以作为参考，并根据实际情况进行修改和优化。理解算法思路和注意事项对于解决类似问题至关重要。
