Beta分布是描述[0,1]区间概率不确定性的连续分布，由参数α和β决定，其PDF为f(p;α,β)=p^(α−1)(1−p)^(β−1)/B(α,β)；α和β可视为虚拟的成功与失败次数。例如先验Beta(1,1)表示均匀分布，观测3次成功2次失败后后验为Beta(4,3)，峰值约0.57；分布随数据增加而变尖锐。在Python中可用scipy绘制不同参数下的曲线。它是二项分布的共轭先验，使贝叶斯更新简化为参数相加：先验Beta(α,β)结合k次成功n−k次失败后，后验为Beta(α+k, β+n−k)，便于计算，体现贝叶斯思想。
Beta分布是概率论和统计学中一个连续概率分布，常用于表示在区间 [0, 1] 上的随机变量。它在贝叶斯推断中特别重要，尤其是当你处理二项分布的先验和后验时。你可以把Beta分布理解为“关于概率的概率分布”——也就是说，它描述的是某个事件发生的概率本身不确定时的分布情况。
什么是Beta分布？
Beta分布由两个正参数 α 和 β 决定，记作 Beta(α, β)。它的概率密度函数（PDF）是：
f(p; α, β) = p^(α−1) × (1−p)^(β−1) / B(α, β)
其中 p ∈ [0,1]，B(α, β) 是归一化常数（Beta函数），确保整个分布积分为1。
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简单来说：
- α 可以理解为“成功次数”的虚拟计数
- β 可以理解为“失败次数”的虚拟计数
比如你抛硬币，还不知道正面出现的概率是多少，就可以用 Beta 分布来表达你对这个概率的信念。
直观理解：模拟不确定性
假设你还没开始抛硬币，你对正面概率一无所知。这时可以用 Beta(1,1)，它在 [0,1] 上是均匀分布——也就是所有概率值都等可能。
如果你抛了5次，得到3次正面、2次反面，那后验分布就是 Beta(3+1, 2+1) = Beta(4,3)。这个分布的峰值会在 4/(4+3) ≈ 0.57 附近，反映你目前认为正面概率大约是57%。
随着数据增多，Beta分布会变得更尖锐，表示你对真实概率的估计越来越确定。
在Python中如何使用？
你可以用 scipy 来画出不同参数下的Beta分布：
from scipy.stats import beta import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.linspace(0, 1, 100) plt.plot(x, beta.pdf(x, 1, 1), label='Beta(1,1): 无信息') plt.plot(x, beta.pdf(x, 4, 3), label='Beta(4,3): 3正2反') plt.plot(x, beta.pdf(x, 10, 10), label='Beta(10,10): 对称，较集中') plt.plot(x, beta.pdf(x, 2, 8), label='Beta(2,8): 偏向小概率') plt.legend() plt.title('Beta分布示例') plt.xlabel('概率 p') plt.ylabel('密度') plt.show()为什么在贝叶斯中常用？
因为Beta分布是二项分布的共轭先验。这意味着：
- 如果你用 Beta(α, β) 作为先验
- 观测到 n 次试验中有 k 次成功
- 那么后验分布仍然是 Beta 分布：Beta(α + k, β + n − k)
这种“形式不变”让计算变得非常方便，不需要复杂的积分。
基本上就这些。Beta分布帮你量化对概率的不确定性，随着数据到来不断更新信念，是贝叶斯思维的一个经典体现。
