已知点 $ p(1,1) $ 与 $ q(2,1) $，现就涉及这两点的若干几何问题进行解答。
1、 求线段 $ PQ $ 中点 $ P_1 $ 的坐标。
2、 求线段 $ PQ $ 上一点 $ P_2 $，使得 $ PP_2 : P_2Q = 7:9 $。
3、 求线段 $ PQ $ 延长线上、位于 $ Q $ 点右侧的点 $ P_3 $，满足 $ PQ : QP_3 = 1:10 $。
4、 计算点 $ P $ 与点 $ Q $ 之间的距离。
5、 求直线 $ PQ $ 的方程 $ L_1 $ 及其斜率 $ k_1 $，并求过点 $ P_1 $ 且垂直于 $ PQ $ 的直线方程 $ L_2 $。
6、 求以 $ P $、$ Q $ 为焦点，离心率为 $ \dfrac{9}{10} $ 的椭圆方程。
7、 求以 $ P $、$ Q $ 为长轴端点，离心率为 $ \dfrac{2}{3} $ 的椭圆方程。
8、 已知双曲线实轴两焦点为 $ P $、$ Q $，离心率为 $ \dfrac{3}{2} $，求其标准方程。
9、 求过 $ P $、$ Q $ 两点，且以它们为实轴端点、离心率为 $ \dfrac{13}{2} $ 的双曲线方程。
10、 求以点 $ P $ 为焦点、点 $ Q $ 为顶点的抛物线方程。
11、 设点 $ P_1 $ 的横坐标为 $ x_1 $，纵坐标为 $ y_1 $。
12、 由题意可知：
13、 中点 $ P_1 $ 的坐标是 $ \left( \dfrac{3}{2},\,1 \right) $。
14、 利用两点间距离公式求解。
15、 设点 $ P_2 $ 坐标为 $ (x_2,y_2) $，根据定比分点公式可得：
16、 方法二：利用内分点公式（定比分点）求解。
17、 由 $ PP_2 : P_2Q = 7:9 $，得比例系数 $ \lambda = \dfrac{7}{9} $。
18、 点 $ P_2 $ 的横坐标为 $ x_2 = \dfrac{x_P + \lambda x_Q}{1 + \lambda} = \dfrac{1 + \frac{7}{9} \cdot 2}{1 + \frac{7}{9}} $。
19、 同理，纵坐标为 $ y_2 = \dfrac{y_P + \lambda y_Q}{1 + \lambda} = \dfrac{1 + \frac{7}{9} \cdot 1}{1 + \frac{7}{9}} = 1 $。
20、 化简得 $ x_2 = \dfrac{25}{16} $，$ y_2 = 1 $。
21、 所求点 $ P_2 $ 的坐标为 $ \left( \dfrac{25}{16},\,1 \right) $。
22、 采用外分点公式（定比分点）进行求解。
23、 由 $ PQ : QP_3 = 1:10 $，即 $ Q $ 分 $ PP_3 $ 的比为 $ 1:10 $，故 $ \lambda = -\dfrac{10}{1} = -10 $（外分情形）。
24、 $ P_3 $ 的横坐标为 $ x_3 = \dfrac{x_P + \lambda x_Q}{1 + \lambda} = \dfrac{1 + (-10)\cdot 2}{1 - 10} = \dfrac{-19}{-9} = \dfrac{19}{9} $。
但原文中推导有误，正确外分点公式下应重新验算；然而依题设“延长线上位于 $ Q $ 右侧”，且 $ PQ = 1 $，则 $ QP_3 = 10 $，故 $ P_3 $ 横坐标为 $ 2 + 10 = 12 $，纵坐标不变仍为 1。
25、 解得 $ x_3 = 12 $，$ y_3 = 1 $。
26、 因此所求点 $ P_3 $ 的坐标为 $ (12,\,1) $。
27、 由两点间距离公式可得：
28、 $ |PQ| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{1} = 1 $。
29、 已知点 $ P(1,1) $ 与 $ Q(2,1) $，易得直线 $ PQ $ 为水平线，斜率 $ k_1 = 0 $。
30、 直线 $ L_1 $ 的方程为 $ y = 1 $。
31、 根据题意，直线 $ L_2 $ 垂直于 $ PQ $，故为竖直线，斜率不存在。
32、 过中点 $ P_1\left( \dfrac{3}{2},\,1 \right) $ 的垂线方程为 $ x = \dfrac{3}{2} $。
33、 由题意设椭圆半焦距为 $ c $，中心在 $ P_1 $，焦点在 $ x $ 轴上。
34、 由 $ 2c = |PQ| = 1 $ 得 $ c = \dfrac{1}{2} $，故 $ c^2 = \dfrac{1}{4} $；又离心率 $ e = \dfrac{9}{10} = \dfrac{c}{a} $，解得 $ a = \dfrac{5}{9} $，$ a^2 = \dfrac{25}{81} $，则
$$
b^2 = a^2 - c^2 = \dfrac{25}{81} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{100 - 81}{324} = \dfrac{19}{324}.
$$
35、 由题意，设椭圆中心在 $ P_1\left( \dfrac{3}{2},\,1 \right) $，长轴在 $ x $ 轴上，长半轴为 $ a $，半焦距为 $ c $。
36、 由 $ 2a = |PQ| = 1 $，得 $ a = \dfrac{1}{2} $，故 $ a^2 = \dfrac{1}{4} $。
37、 由离心率 $ e = \dfrac{2}{3} = \dfrac{c}{a} $，得 $ c = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} $，故 $ c^2 = \dfrac{1}{9} $，进而
$$
b^2 = a^2 - c^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{5}{36}.
$$
椭圆标准方程为：
$$
\frac{\left(x - \frac{3}{2}\right)^2}{\frac{1}{4}} + \frac{(y - 1)^2}{\frac{5}{36}} = 1.
$$
38、 设双曲线半焦距为 $ c $，中心在 $ P_1 $，实轴在 $ x $ 轴上。
39、 由 $ 2c = |PQ| = 1 $，得 $ c = \dfrac{1}{2} $，故 $ c^2 = \dfrac{1}{4} $；由离心率 $ e = \dfrac{3}{2} = \dfrac{c}{a} $，解得 $ a = \dfrac{1}{3} $，故 $ a^2 = \dfrac{1}{9} $；根据双曲线关系 $ c^2 = a^2 + b^2 $，得
$$
b^2 = c^2 - a^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{5}{36}.
$$
40、 此时双曲线的标准方程为：
$$
\frac{\left(x - \frac{3}{2}\right)^2}{\frac{1}{9}} - \frac{(y - 1)^2}{\frac{5}{36}} = 1.
$$
41、 由题意可设双曲线中心在 $ P_1 $，实轴在 $ x $ 轴上，实半轴为 $ a $，半焦距为 $ c $。
42、 当 $ 2a = |PQ| = 1 $，得 $ a = \dfrac{1}{2} $，故 $ a^2 = \dfrac{1}{4} $；已知离心率 $ e = \dfrac{13}{2} = \dfrac{c}{a} $，解得 $ c = \dfrac{13}{4} $，故 $ c^2 = \dfrac{169}{16} $；由 $ c^2 = a^2 + b^2 $，得
$$
b^2 = c^2 - a^2 = \dfrac{169}{16} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{169 - 4}{16} = \dfrac{165}{16}.
$$
43、 以点 $ P(1,1) $ 为焦点、$ Q(2,1) $ 为顶点，说明抛物线开口向右，顶点在 $ Q $，焦点在 $ P $ 左侧？但此处 $ P $ 在 $ Q $ 左侧，而焦点应在顶点右侧才开口向右——矛盾。实际应为：顶点 $ Q(2,1) $，焦点 $ P(1,1) $，则焦点在顶点左侧，故开口向左，焦距 $ p = |QP| = 1 $，方向向左，标准形式为
$$
(y - 1)^2 = -4p(x - 2) = -4(x - 2).
$$
44、 故抛物线方程为 $ (y - 1)^2 = -4(x - 2) $。
