单射要求定义域中不同元素映射到陪域中不同元素，满射要求陪域中每个元素都有定义域中的原像；二者同时成立即为双射。
单射和满射是针对函数（或映射）的结构特性所作的分类，描述的是定义域与陪域之间元素对应关系的两种关键性质。以下是理解这两种性质的具体说明：
一、单射：强调“输入不重合，输出必不重合”
单射刻画的是映射中“一对一分配”的严格性，即定义域中任意两个不同元素，其像在陪域中也必须互异。它关注的是“是否有多个输入映射到同一个输出”，若不存在，则该映射为单射。
1、验证方法：任取 x₁, x₂ ∈ A，若 x₁ ≠ x₂，需确认 f(x₁) ≠ f(x₂)；否则不是单射。
2、等价判据：若 f(x₁) = f(x₂) 能推出 x₁ = x₂，则 f 是单射。
3、图像辅助：在实数函数图像中，应用水平线测试——任何水平直线与图像至多交于一点，即为单射。
二、满射：强调“陪域中每个元素都被覆盖”
满射刻画的是映射的“覆盖完备性”，即陪域 B 中的每一个元素 y，都至少存在一个定义域 A 中的元素 x，使得 f(x) = y 成立。它不关心输入是否唯一，只关注陪域是否被完全“打满”。
1、验证方法：对每个 y ∈ B，检查是否存在 x ∈ A 满足 f(x) = y；若存在某个 y 无解，则非满射。
2、值域比对：计算函数实际值域 f(A)，若 f(A) = B（陪域），则为满射；若 f(A) ⊂ B 且为真子集，则不是满射。
3、有限集合操作：当 A、B 均为有限集时，可逐一列出 B 中每个元素，并尝试构造其原像，全部成功即为满射。
三、单射与满射共同作用于同一映射关系
单射与满射并非互斥，而是从两个正交维度刻画映射行为：单射约束“左端唯一性”，满射约束“右端完备性”。二者同时成立时，映射称为双射，此时定义域与陪域间存在一一对应关系。
1、典型反例：f: ℕ → ℕ, f(n) = n² 是单射但非满射，因不同自然数平方互异，但如 2、3 等非完全平方数在陪域中无原像。
2、另一反例：h: ℤ → ℕ ∪ {0}, h(z) = |z| 是满射但非单射，因每个非负整数 y 都有 z = y 或 z = −y 作为原像，但 h(1) = h(−1) = 1 违反单射定义。
3、关键提示：陪域的设定直接影响满射判断——例如 f(x) = x² 在 f: ℝ → [0, ∞) 下是满射，但在 f: ℝ → ℝ 下则不是。
