不能直接用 int 或 long long 做大数乘法，因为其位数上限远低于大数结果（如 100 位数相乘得 200 位，而 long long 仅支持约 19 位），必然溢出；应使用 vector<int> 逆序存低位，按竖式原理 res[i+j] += a[i]*b[j]，再统一进位并去除前导零。
为什么不能直接用 int 或 long long 做大数乘法
因为超出类型能表示的范围就会溢出，结果完全不可信。比如两个 100 位的十进制数相乘，结果最多 200 位，而 long long 最多撑到 19 位十进制数。不是精度不够，是根本存不下。
常见错误现象：12345678901234567890 * 98765432109876543210 算出来是负数或零；或者用 std::to_string 转数字再乘，运行时直接崩溃（字符串转整数失败）。
- 别试图用
double中转——精度丢失严重，17 位以上就不可靠 - 别依赖第三方大数库（如 GMP）除非项目已强制引入——纯 C++ 场景下要自己可控
- 竖式模拟的核心是“按位存、逐位算、统一进位”，不是把字符串当数字解析
怎么用 vector<int> 存储并实现竖式乘法
把数字低位存在 vector 前端（索引 0），高位在后，这样进位时 push_back 就行，不用频繁挪动内存。比如 "123" 存成 {3, 2, 1}，加减乘都对齐索引操作。
实操关键点：
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- 输入字符串先逆序转为
vector<int>：每个字符减'0'，检查是否为数字 - 两数相乘时，
res[i + j]累加a[i] * b[j]，这是竖式里“第 i 位 × 第 j 位影响第 i+j 位”的直接映射 - 进位必须单独遍历处理：不能边算边进，否则
res[i + j + 1]会被重复进位 - 结果 vector 可能前导零（比如乘 0），最后要从末尾往前找第一个非零位，再反转输出
示例片段（不封装函数，只看逻辑）：
vector<int> a = {3, 2, 1}; // "123"
vector<int> b = {6, 5, 4}; // "456"
vector<int> res(a.size() + b.size(), 0);
for (int i = 0; i < a.size(); i++)
for (int j = 0; j < b.size(); j++)
res[i + j] += a[i] * b[j];
for (int i = 0; i < res.size() - 1; i++) {
res[i + 1] += res[i] / 10;
res[i] %= 10;
}
// res 此时是低位在前的 {8, 8, 0, 5, 0} → 反转去前导零 → "56088"
string 输入校验和边界情况怎么处理
用户传进来的不一定是干净正整数：可能为空、全空格、带符号、含非法字符、开头一堆 0。这些不拦住，后面数组访问直接越界或逻辑错乱。
必须做的检查：
- 用
find_first_not_of("0123456789")检查非法字符；允许开头一个'-'，但本题是“列竖式”，默认非负，遇到负号直接报错或按绝对值算（需明确约定） - 去除首尾空格后，如果长度为 0 或全是
'0'，直接返回"0"—— 不要让它进主循环生成一堆 0 的 vector - 输入
"0"和"123"相乘，不能让vector存{0}后还参与双层 for 循环——短路掉：任一数为 0，结果就是"0" - 不要用
stoi/stoll做任何解析——它们会截断或抛异常，且无法处理超长串
性能和可读性之间怎么取舍
纯 O(n×m) 竖式足够应付几千位以内的数；但若真要上万位，FFT 或 Karatsuba 就得上了——不过那已经不是“模拟竖式”范畴了。
当前实现的关键妥协点：
- 用
vector<int>而不是vector<char>：虽然单个数字只占 0–9，但运算中中间值可能到 81（9×9），进位后更高，int更安全，空间开销可接受 - 不预分配
res大小然后用at()：用[]加resize，避免 bounds check 开销（Release 模式下差异明显） - 输出字符串时，不要用多次
+=拼接：先构造好string长度，再用索引赋值，最后reverse - 别为了“看起来简洁”把进位逻辑塞进乘法循环里——可读性和 debug 成本远大于那几行省略
最易被忽略的是：结果 vector 的 size 是 a.size() + b.size()，但最终有效位数可能只比这个少 1（比如两个最高位都是 1），所以去前导零时，一定要从最后一个索引开始倒着扫，而不是固定删一个。
