本文详解如何用纯 java（不依赖 math 类）准确计算两个轴对齐矩形的并集面积，核心在于正确求解重叠区域的宽高，并通过容斥原理（总面积 = 面积₁ + 面积₂ − 重叠面积）得出结果。
本文详解如何用纯 java（不依赖 math 类）准确计算两个轴对齐矩形的并集面积，核心在于正确求解重叠区域的宽高，并通过容斥原理（总面积 = 面积₁ + 面积₂ − 重叠面积）得出结果。
在二维平面中，给定两个以左上角为基准、宽高非负的轴对齐矩形 R1 和 R2（坐标系 y 轴向下增长，符合多数 GUI 坐标惯例），其并集面积不能简单相加，必须扣除重叠部分，否则会重复计算。关键挑战在于：如何鲁棒、简洁地计算重叠矩形的宽度和高度？
错误的重叠逻辑（如原代码中嵌套过深的 if-else、误用 w1 * x2 计算重叠、未处理无重叠情形）会导致重叠面积为负或过大，最终使并集面积失真（例如输入 0 0 5 10 0 0 10 5 时错误输出 100）。正确做法是：分别计算 x 方向与 y 方向的重叠长度，若任一方向无重叠，则整体重叠面积为 0。
✅ 正确的重叠长度计算逻辑
对任意两区间 [a, a + lenA) 和 [b, b + lenB)，其重叠长度公式为：
max(0, min(a + lenA, b + lenB) − max(a, b))
该公式天然处理了所有情况：完全分离、部分重叠、包含关系，且无需分支判断。虽然题目禁止使用 Math.max/min，但我们可以用三元运算符等价实现：
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// 计算 x 方向重叠宽度 int leftX = (x1 < x2) ? x2 : x1; // 重叠区域左边界 int rightX = (x1 + w1 < x2 + w2) ? x1 + w1 : x2 + w2; // 重叠区域右边界 int overlapX = (rightX > leftX) ? rightX - leftX : 0; // 计算 y 方向重叠高度（注意：y 向下增长，但高度仍为正，逻辑一致） int topY = (y1 < y2) ? y2 : y1; int bottomY = (y1 + h1 < y2 + h2) ? y1 + h1 : y2 + h2; int overlapY = (bottomY > topY) ? bottomY - topY : 0;
⚠️ 注意：此处 y1 < y2 表示 R1 的顶边在 R2 顶边上方（因 y 值越小位置越高），但重叠区间的上下边界计算逻辑与 x 方向完全对称，无需反转比较符号。
✅ 完整可运行的 overlapCalculator 方法
public static int unionAreaCalculator(int x1, int y1, int w1, int h1,
int x2, int y2, int w2, int h2) {
// 计算重叠区域的宽度（x 方向）
int leftX = (x1 < x2) ? x2 : x1;
int rightX = (x1 + w1 < x2 + w2) ? x1 + w1 : x2 + w2;
int overlapX = (rightX > leftX) ? rightX - leftX : 0;
// 计算重叠区域的高度（y 方向）
int topY = (y1 < y2) ? y2 : y1;
int bottomY = (y1 + h1 < y2 + h2) ? y1 + h1 : y2 + h2;
int overlapY = (bottomY > topY) ? bottomY - topY : 0;
// 应用容斥原理：并集面积 = 面积1 + 面积2 − 重叠面积
int area1 = w1 * h1;
int area2 = w2 * h2;
int intersectionArea = overlapX * overlapY;
return area1 + area2 - intersectionArea;
}✅ 主程序调用示例
import java.util.Scanner;
public class RectangleUnion {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
System.out.println("- What is the area of the union of two rectangles R1 and R2, where top left corner of R1 is (X1,Y1) and its size is (W1,H1), and top left corner of R2 is (X2,Y2) and its size is (W2,H2)?\n");
System.out.print("Please enter X1, Y1, W1, H1, X2, Y2, W2, H2: ");
int x1 = sc.nextInt(), y1 = sc.nextInt(), w1 = sc.nextInt(), h1 = sc.nextInt();
int x2 = sc.nextInt(), y2 = sc.nextInt(), w2 = sc.nextInt(), h2 = sc.nextInt();
int unionArea = unionAreaCalculator(x1, y1, w1, h1, x2, y2, w2, h2);
int area1 = w1 * h1;
int area2 = w2 * h2;
int intersectionArea = area1 + area2 - unionArea;
System.out.printf("Result: Intersection area is %d thus the total area of the union is %d.\n",
intersectionArea, unionArea);
sc.close();
}
// ... 上面定义的 unionAreaCalculator 方法
}运行示例：
输入：0 0 5 10 0 0 10 5
- R1：左上 (0,0)，宽5高10 → 占据 [0,5) × [0,10)
- R2：左上 (0,0)，宽10高5 → 占据 [0,10) × [0,5)
- 重叠区域：[0,5) × [0,5) → 宽5高5 → 重叠面积 = 25
- 并集面积 = 50 + 50 − 25 = 75 ✓
? 关键总结
- 重叠判定本质是区间交集：分别求 x、y 方向投影区间的交集长度，再相乘得重叠面积。
- 避免硬编码分支：用 max/min 思想（三元运算符实现）替代冗长 if-else，提升健壮性与可读性。
- 零重叠即零面积：当 overlapX 或 overlapY 为 0 时，乘积自动为 0，无需额外判断。
- 命名语义清晰：方法名 unionAreaCalculator 直接表明职责，优于模糊的 overlapCalculator（后者易误解为返回重叠面积）。
- 输入假设：本实现默认 w1, h1, w2, h2 ≥ 0；若需支持负尺寸，应先归一化为标准矩形（取绝对值并调整坐标）。
掌握此方法后，可轻松扩展至多个矩形并集（如扫描线算法）或带旋转矩形（需几何变换），是计算几何入门的重要基石。
