0-1背包应根据场景选择二维dpi或一维dp[w]：小数据量用二维更清晰，内存受限时用一维但须倒序遍历；注意vector初始化大小与零值、价值溢出用long long、重量为0需预处理。
0-1 背包用 dp[i][w] 还是 dp[w]？
绝大多数初学者卡在状态定义上：二维数组看着直观，但空间浪费大；一维滚动数组效率高，却容易写错遍历方向。关键不是“哪个更好”，而是“你当前场景要不要省空间”。
常见错误现象：dp[w] 里结果比预期大——多半是内层循环正向遍历了 w，导致一个物品被重复选多次（实际成了完全背包）。
使用场景：
• 小数据量（比如 weight 总和 ≤ 1e4，物品数 ≤ 100）直接用二维 dp[i][w]，逻辑清晰不易错
• 内存受限或需要优化时，改用一维 dp[w]，但必须倒序遍历 w 从 W 到 weight[i]
• 不要试图在 dp[w] 版本里复原路径（选了哪些物品），它天然丢弃了阶段信息
vector<vector>></vector> 初始化大小写错会怎样？
动态规划数组初始化不对，轻则答案为 0，重则越界访问或未定义行为。尤其 C++ 默认初始化是未定义值，不是 0。
参数差异：
• dp(i+1, vector<int>(W+1, 0))</int> —— 正确：行数 = 物品数 + 1，列数 = 容量 + 1，全初始化为 0
• dp(i, vector<int>(W))</int> —— 错误：少一行、少一列，dp[0][0] 都可能越界
• dp(i+1, vector<int>(W+1))</int> —— 危险：第二维没显式初始化，元素值随机
性能影响：初始化开销很小，别为了省几毫秒跳过 0 初始化；现代编译器对 vector 的零初始化优化很好
为什么用 int 存最大价值可能溢出？
题目没说价值范围，但实际输入中单个 value[i] 可达 1e9，100 个加起来就超 int 上限（约 2e9）。运行时不会报错，但结果突然变负或离谱。
容易踩的坑：
• 把 dp 数组类型设成 int，却没检查题目约束
• 用 INT_MAX 做“无穷大”标记，但后续做加法时直接溢出
• 比较时写 if (dp[i-1][w] > dp[i-1][w-wt] + val)，若右边溢出，比较失效
实操建议：
• 看清输入范围，价值总和可能到 1e5 × 1e4 = 1e9，保险起见用 long long
• “不可达”状态别用 INT_MAX，改用 -1 或单独布尔数组 valid[i][w]
• 所有涉及加法的右侧表达式，先判断左操作数是否有效再算
物品重量为 0 怎么处理？
标准教材常假设重量 > 0，但真实 OJ 题（如 LeetCode 416、494）可能出现 weight[i] == 0。这时无论容量多少，该物品都能无限次“免费放入”，逻辑立刻崩坏。
使用场景：
• 如果题目明确说“所有重量为正整数”，可跳过此检查
• 否则必须预处理：把 weight[i] == 0 的物品单独拎出来，它们的价值直接加到最终答案上（因为不占容量）
常见错误现象：
• 循环里 w - weight[i] 变成负数，导致数组越界或逻辑跳过
• dp[w] 更新时除零或死循环（虽然这里不除零，但下标计算失效）
兼容性提醒：C++ 标准不禁止 vector 下标为负，但行为未定义；务必在访问前校验 w >= weight[i]，且 weight[i] 为 0 时跳过更新逻辑
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背包问题最麻烦的从来不是状态转移方程本身，而是边界条件怎么兜住、数据类型怎么选、以及——有没有人告诉你输入里藏着 weight=0 的坑。
