计算所有整数的排列，这些排列可以根据给定的条件形成一个无环图

对于整数N以内的阶段进行计数，形成非循环图需要对每一个可能的变化进行调查，并检查它们是否根据给定条件形成非循环图。这些条件可能与由变化形成的协调图结构相关，其中循环的缺失表示非循环性。这个问题涉及图论的概念，并可以通过深度优先搜索或动态规划来解决。深度优先搜索通过递归地调查每个阶段，动态规划通过存储中间结果来优化循环。最后计数的有效阶段数显示了整数N以内可以组织成满足预定条件的非循环图的方式数

使用的方法

• 深度优先搜索 (DFS)

• 动态规划

深度优先搜索（DFS）

在生成具有给定操作的分组的DFS方法中，我们从给定的数字开始，通过重新计算直到达到值1。我们按照以下方式继续进行：如果数字确实为2，则将其除以2；如果是奇数，则将其乘以3并加1。我们更新数字以反映未使用的结果，并将其添加到序列中。这个过程持续到数字达到1。所得到的序列表示给定起始数字的重复Collatz序列。这种方法允许我们跟踪数字通过重复计算而发生变化的进展，揭示模式，并考虑Collatz序列的行为。它提供了一种简单且可重复的方法来生成序列，并分析这一数学奇迹的迷人特征。

算法

• 选择一个起始枢纽来开始穿越

• 将中心标记为已访问，以监控哪些中心已经主动进行了调查。

• 访问正在进行的中心节点的未访问邻居（如果有）。要确定正在进行的中心节点的邻居，您确实需要了解图的传染性描述（例如，接近度列表或接近度框架）

• 假设存在未访问的邻居，选择其中一个并从该邻居重新进行第2到第4阶段的重新散列（递归地）

• 假设没有未访问的邻居，回溯到过去的中心，并从那个点继续进行调查（如果可能的话）。这一步对于探索图中所有潜在路径至关重要

• 重新进行2到5阶段的哈希，直到图表中的所有中心节点都被访问。如果图表未连接（包含多个部分），您可能需要从未访问的中心节点开始进行深度优先搜索（DFS）。

Example

示例

#include 
#include 

using namespace std;

void dfs(int node, vector>& graph, vector& visited) {
   visited[node] = true;
   cout << "Visited hub: " << node << endl;
   for (int neighbor : graph[node]) {
      if (!visited[neighbor]) {
         cout << "Moving to neighbor: " << neighbor << endl;
         dfs(neighbor, graph, visited);
      }
   }
}

int main() {
   vector> graph = {
      {1, 2},
      {0, 2, 3},
      {0, 1, 3},
      {1, 2, 4},
      {3}
   };
   int hubs = graph.size();
   vector visited(hubs, false);
   int startingHub = 0;
   cout << "DFS Traversal starting from hub " << startingHub << ":" << endl;
   dfs(startingHub, graph, visited);
   return 0;
}

输出

DFS Traversal starting from hub 0:
Visited hub: 0
Moving to neighbor: 1
Visited hub: 1
Moving to neighbor: 2
Visited hub: 2
Moving to neighbor: 3
Visited hub: 3
Moving to neighbor: 4
Visited hub: 4

动态规划

在这种方法中，我们可以利用动态规划来有效地计算到达N的非循环阶段的数量。我们将定义一个DP表，其中dp[i]表示以数字I结尾的非循环转换的数量。

算法

• 调查问题并决定是否可以将其分解为较小的子问题。如果多次解决相同的子问题是低效的，动态规划可以通过记住子问题的解决方案来改善解决方案。

  

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• 将一个更大问题的安排表达为其子问题的安排。这种重复连接是使用DP解决问题的关键。

• 鉴于重复的连接，制作一个表格或展示来存储子问题的答案。这将防止重复计算。

• 从最小的子问题开始填写表格，通常采用自底向上的方式，或者使用记忆化来在递归过程中存储和检索解决方案

• 当所有子问题都解决完毕时，将最后的排列从DP表或记忆化展示中分离出来。

Example

示例

#include 
#include 
using namespace std;

int knapsackHelper(vector>& dp, vector& weights, vector& values, int n, int capacity) {
   if (n == 0 || capacity == 0) {
      return 0;
   }

   if (dp[n][capacity] != -1) {
      return dp[n][capacity];
   }

   if (weights[n - 1] <= capacity) {
      dp[n][capacity] = max(values[n - 1] + knapsackHelper(dp, weights, values, n - 1, capacity - weights[n - 1]),
                      knapsackHelper(dp, weights, values, n - 1, capacity));
   } else {
      dp[n][capacity] = knapsackHelper(dp, weights, values, n - 1, capacity);
   }

   return dp[n][capacity];
}

int knapsack(vector& weights, vector& values, int capacity) {
   int n = weights.size();
   vector> dp(n + 1, vector(capacity + 1, -1));
   return knapsackHelper(dp, weights, values, n, capacity);
}

int main() {
   vector weights = {10, 20, 30};
   vector values = {60, 100, 120};
   int capacity = 50;
   cout << "Maximum value in Knapsack: " << knapsack(weights, values, capacity) << endl;
   return 0;
}

输出

Maximum value in Knapsack: 220

结论

计算可以形成非循环图的阶段包括研究整数的不同排列方式，以确保它们满足给定的条件。DFS递归地探索阶段，而DP通过记忆化改进循环。这两种方法提供了解决这个问题的重要方法。方法的选择取决于限制条件和N的大小。通过这些方法，我们可以高效地找到合法阶段的数量，帮助我们理解数字可以按照预定条件形成非循环图的方式。