三角函数和差公式的推导并非易事，需要扎实的几何基础和严密的逻辑推理。 但通过巧妙的几何构造和坐标系运用，我们可以清晰地理解其推导过程。
我曾经在辅导学生时，就遇到过许多同学在理解和差公式时卡壳。他们往往死记硬背公式，却缺乏对公式来源的理解，导致应用时容易出错。 因此，我尝试用一种更直观的几何方法来解释，效果显著提升。
让我们从和角公式入手，以sin(A+B)为例。 我们可以利用单位圆进行推导。 想象一下，在单位圆上取两个角度A和B，对应的坐标分别为(cosA, sinA)和(cosB, sinB)。 关键在于，如何将A+B这个角度在单位圆上表示出来。 这里需要用到旋转变换的思想。 我们可以将一个角旋转B的角度，得到另一个角A+B。
具体操作上，我们可以先构造一个直角三角形，一个锐角为A，斜边长度为1。 这样，三角形的两条直角边长度分别为cosA和sinA。 接下来，将这个三角形绕原点旋转B的角度。 旋转后，三角形的斜边仍然是1，但两条直角边的位置发生了变化。 通过坐标变换和三角函数定义，我们可以得到sin(A+B)的表达式。 这其中涉及到坐标旋转公式，需要仔细分析三角形的各个边在旋转前后的坐标变化。
需要注意的是，在进行坐标变换时，容易出现符号错误。 我曾经就见过学生因为弄混了正负号，导致最终结果错误。 因此，在推导过程中，务必仔细检查每个步骤的正负号，特别是当A和B位于不同象限时。 建议同学们在推导过程中，画出清晰的几何图形，并标注出各个角度和坐标，这有助于避免错误。
类似地，我们可以通过同样的方法推导出cos(A+B)和tan(A+B)。 只不过，在推导cos(A+B)时，我们需要关注的是x坐标的变化；而推导tan(A+B)时，则需要利用tan(x) = sin(x)/cos(x)的关系。 整个过程需要仔细的计算和严谨的逻辑推理，但只要掌握了方法，便能轻松应对。
最终，通过几何方法的推导，我们不仅能够理解和差公式的来源，更能深刻体会到三角函数的几何意义，从而更好地应用这些公式解决实际问题。 记住，理解胜过死记硬背，而几何直观能够帮助我们更好地理解数学的本质。
