$(".purpose").change(function(){
            var index = $(this).index();
            if($(this).is(":checked")){
                $(".bd").eq(index).show();
            }else{
                 $(".bd").eq(index).hide();
            }
});

首先给bd的p加上data-v对应上面的value

<p class="bd" data-v="13">1放家庭装饰 input</p>
<p class="bd" data-v="17">2放礼物馈赠 input</p>

$('.purpose').on('click',function(){
    var $bd = $('p[data-v=' + $(this).val() + ']');
    if($bd.is(":hidden"))
        $bd.show();
    else
        $bd.hidden();
})

$(function(){
   $.each($("input[name='purpose_id[]']"), function(index) {
        $(this).click(function(){
            if($(this).prop("checked")){
                $(".bd").eq(index).show();
            }else{
                $(".bd").eq(index).hide();
            }
        })
   });
})

p加个属性跟复选框能对应，那个通过index来进行判断的写法位置稍微一改动就没用

<input type="checkbox" name="purpose_id[]" class="purpose" value="13">家庭装饰
<input type="checkbox" name="purpose_id[]" class="purpose" value="17">礼物馈赠

<p class="bd" id="13">1放家庭装饰 input</p>
<p class="bd" id="17">2放礼物馈赠 input</p>

<script>
    $(function () {
        $('input[type=checkbox]').on('click', function () {
            var $p = $("#"+ $(this).val());
            $(this).attr("checked") ? $p.show() : $p.hide();
        })
    })
</script>

$(".purpose").on('change',function(){

 var index = $(this).index();
  if($(this).is(":checked")){
      $(".bd").eq(index).show();
  }else{
      $(".bd").eq(index).hide();
  }

});

<input type="checkbox" name="purpose_id[]" class="purpose" onchange="check1();" data="1" value="13">家庭装饰

<input type="checkbox" name="purpose_id[]" class="purpose" onchange="check2()" data="2" value="17">礼物馈赠

<p class="bd">1放家庭装饰 input</p>
<p class="bd">2放礼物馈赠 input</p>
<script>
    function check1(){
        $('.bd:eq(0)').toggle();
    }

    function check2(){
        $('.bd:eq(1)').toggle();
    }
</script>

你这是要做什么功能啊，没看明白。。。。。。