因为sqrt(n)仅覆盖小于等于√n的因子，而n可能残留一个大于√n的质因数；应先除尽2，再从3开始每次+2试除，循环条件为i*i≤n，最后若n>1则其本身即为最大质因数。
为什么不能直接用 sqrt(n) 作为循环上限就结束？
很多初学者写质因数分解时，习惯写成 for (int i = 2; i ，然后认为循环完就结束了。但这是错的——如果 n 在循环结束后仍大于 1，那它本身就是一个没被除尽的质数（比如 n = 17，循环只到 4，最后剩的 17 就是质因子）。必须额外判断 n > 1 的情况。
如何避免重复试除和跳过合数？
质因数分解不需要判断 i 是否为质数。只要从小到大试除，第一个能整除 n 的 i 必然是质数（因为它的真因子早就在前面被试过了，且已把对应因子全部除尽）。所以只需：
- 先处理所有因子 2：用
while (n % 2 == 0)不断除，输出或存入结果 - 再从
i = 3开始，每次i += 2（跳过偶数） - 循环条件用
i * i 比i 更安全（避免浮点误差和类型转换问题）
完整可运行的 C++ 实现（含重复因子输出）
#include#include using namespace std; vector
primeFactors(int n) { vector factors; // 处理因子 2 while (n % 2 == 0) { factors.push_back(2); n /= 2; } // 处理奇因子，从 3 开始 for (int i = 3; i * i <= n; i += 2) { while (n % i == 0) { factors.push_back(i); n /= i; } } // 如果剩余 n > 1，则它本身是质数 if (n > 1) { factors.push_back(n); } return factors; } int main() { int n = 60; vector
res = primeFactors(n); cout << n << " = "; for (int i = 0; i < res.size(); ++i) { if (i > 0) cout << " × "; cout << res[i]; } cout << endl; return 0; }
输出：60 = 2 × 2 × 3 × 5
如果只要不同质因子（去重），怎么改？
只需在每次找到新因子时，只记录一次，而不是每次整除都 push。例如把 factors.push_back(i) 移到 while 外面，并确保同一 i 只加一次：
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- 把
while (n % i == 0) { n /= i; }留在内层，只做除法 - 外层加一句
factors.push_back(i)，放在while后面 - 注意：2 的处理也要同步改成只 push 一次
这种变体适合求欧拉函数、判断是否为 square-free 数等场景。实际用哪种，取决于你是否需要指数信息——而上面原始版本天然保留了每个质因子出现的次数，更通用。
