本文详解如何正确统计二进制数组中和恰好等于目标值 goal 的非空连续子数组数量，重点剖析原始双指针法在 goal = 0 等边界场景下的逻辑缺陷，并基于“1 的位置间隙建模”给出时间复杂度 O(n)、逻辑严谨且可扩展的最优解。
本文详解如何正确统计二进制数组中和恰好等于目标值 `goal` 的非空连续子数组数量，重点剖析原始双指针法在 `goal = 0` 等边界场景下的逻辑缺陷，并基于“1 的位置间隙建模”给出时间复杂度 o(n)、逻辑严谨且可扩展的最优解。
在解决「二进制子数组和为 goal」问题时，初学者常尝试使用类似经典滑动窗口（双指针）的方法：维护左右指针 i, j 和当前和 sumSoFar，通过伸缩窗口逼近目标值。然而，该思路在 goal = 0 或存在大量连续 0 的场景下极易失效——正如问题中所揭示的：当 nums = [0,0,0,0,0]、goal = 0 时，预期结果为 15（即所有非空全零子数组个数），但原实现仅返回 10。
根本原因在于：传统双指针要求窗口和单调变化，而 0 不改变和却引入多重合法起点/终点，导致单次移动 i 或 j 必然遗漏组合。例如 [0,0,0] 中，子数组 [0]、[0,0]、[0,0,0]、[0]（第二个）、[0,0]（后两个）等均合法，但双指针无法在固定 sumSoFar == 0 时同时枚举所有起止偏移。
真正高效的解法需跳出“逐个扩展子数组”的直觉，转而观察 1 的分布结构：
- 每个满足 sum == goal 的子数组，必然恰好包含 goal 个 1（因数组仅含 0/1）；
- 若 goal > 0，则该子数组的左右边界由第 k 个 1 和第 k+goal−1 个 1 “锚定”，而两端可自由延伸至相邻 1 之间的 0 区域；
- 具体地，定义 gap 数组：记录每个 1 左侧（含自身）到上一个 1 的距离（即左侧连续 0 的个数 + 1）。对 nums = [0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,0]，1 出现在索引 4,6,9，则：
- 第一个 1 前有 4 个 0 → gap₀ = 4 + 1 = 5
- 第二个 1 前（从索引 5 开始）有 1 个 0 → gap₁ = 1 + 1 = 2
- 第三个 1 前有 2 个 0 → gap₂ = 2 + 1 = 3
- 末尾 1 后有 1 个 0 → gap₃ = 1 + 1 = 2
- 故 gaps = [5, 2, 3, 2]
此时，任一包含第 i 个和第 i+goal−1 个 1 的子数组，其左端点可在 gap[i] 种位置选择（从第 i 个 1 左侧 gap[i]−1 个 0 中任选起点），右端点可在 gap[i+goal] 种位置选择（向右延伸至第 i+goal 个 1 左侧）。因此贡献为 gap[i] * gap[i+goal]。
若 goal == 0，则子数组必须全由 0 构成。此时对每个长度为 L 的连续 0 段，其非空子数组数为三角形数 L * (L + 1) // 2。注意：gaps 数组中每个元素 g 实际表示一段 0 的长度加 1（即 g − 1 个 0），故对应子数组数为 (g−1) * g // 2。
以下是完整、健壮的 Python 实现：
class Solution:
def numSubarraysWithSum(self, nums, goal):
# Step 1: 构建 gaps 数组 —— 记录每个 '1' 左侧（含自身）到上一个 '1' 的距离
gaps = []
j = 0 # 上一个 '1' 的下一个位置（初始为 0）
for i, val in enumerate(nums):
if val == 1:
gaps.append(i - j + 1) # 当前 '1' 到上一个 '1' 的距离（含当前）
j = i + 1
gaps.append(len(nums) - j + 1) # 末尾 '1' 到数组末尾的距离
# Step 2: 分情况处理
if goal == 0:
# 对每个 gap g，对应 (g-1) 个连续 0，子数组数为 (g-1)*g//2
return sum((g - 1) * g // 2 for g in gaps)
else:
# goal >= 1：累加 gaps[i] * gaps[i + goal]（i 从 0 到 len(gaps)-goal-1）
return sum(before * after for before, after in zip(gaps, gaps[goal:]))关键注意事项：
- gaps 长度恒为 ones_count + 1，确保 gaps[goal:] 在 goal ≤ ones_count 时有效；若 goal > ones_count，zip 自动截断，结果为 0（符合预期）；
- 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(k)（k 为 1 的个数），远优于暴力 O(n²) 或易错的双指针；
- 该方法天然规避了浮点误差、边界越界及状态回溯难题，是典型“问题转化 + 数学建模”的范例。
总结而言，面对二进制数组子数组计数问题，应优先分析 1 的拓扑结构而非盲目滑窗。通过将“子数组计数”转化为“间隙乘积求和”，我们不仅修复了边缘 case，更获得了一个简洁、高效、可证明正确的通用解法。
