前缀和数组应初始化为长度 n+1，首元素 sum[0]=0；若设为长度 n，则访问 sum[n] 会导致越界。正确写法：vector<int> sum(n + 1, 0)。
前缀和数组怎么初始化才不会越界
初始化时最容易犯的错是把前缀和数组长度设成 n 而不是 n+1。原数组下标从 0 到 n-1，但前缀和要支持「区间 [l, r] 求和」用 sum[r+1] - sum[l] 这个公式，所以 sum 必须有 n+1 个元素，其中 sum[0] = 0。
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vector<int> sum(n + 1, 0)</int>是安全写法；写成vector<int> sum(n)</int>后续访问sum[n]就是未定义行为 - 循环填值时，用
for (int i = 0; i ，别用 <code>i从1开始去对齐——容易漏掉第一个元素或搞混偏移 - 如果原数组是
long long类型，前缀和也得用long long，否则中间累加就溢出，连int都撑不住 1e5 个 1e4 的数
查询区间和时为什么总是差一个数
问题几乎都出在边界映射上。前缀和本质是「sum[i] 表示前 i 个元素之和（即 a[0] 到 a[i-1]）」，所以 [l, r]（闭区间，0-indexed）对应的是 sum[r + 1] - sum[l]。
- 查
[0, 0]：要写sum[1] - sum[0]，不是sum[0] - sum[0] - 查
[2, 5]：是sum[6] - sum[2]，不是sum[5] - sum[2] - 如果题目给的查询是 1-indexed（比如「第 l 个到第 r 个」），直接用
sum[r] - sum[l - 1]，此时你建的sum仍是n+1长，但索引含义变成「前 i 个」
二维前缀和的递推式为什么是 sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + a[i-1][j-1]
因为二维里重复加了左上角那块。画个图就清楚：sum[i-1][j] 覆盖了上方矩形，sum[i][j-1] 覆盖了左方矩形，它们重叠的部分是 sum[i-1][j-1]，必须减一次，再补上当前格子 a[i-1][j-1]（注意这里又出现偏移：sum 是 (n+1)×(m+1)，而 a 是 n×m）。
- 初始化
vector<vector long>> sum(n + 1, vector<long long>(m + 1, 0))</long></vector>，别省那个+1 - 查矩形
[r1, c1]到[r2, c2]（0-indexed，闭区间）：结果是sum[r2 + 1][c2 + 1] - sum[r1][c2 + 1] - sum[r2 + 1][c1] + sum[r1][c1] - 如果用
int存二维前缀和，1000×1000 的矩阵里每个数 1e6，总和就到 1e12，早爆了
什么时候不该用前缀和
前缀和只适合静态数组、单次预处理多次查询的场景。一旦有修改操作，就得换线段树或树状数组。
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- 原数组会频繁单点修改（比如「把第 i 个数改成 x」）：前缀和每次改都要 O(n) 重建，不如用
std::vector配合std::accumulate临时算——或者直接上BIT - 内存敏感场景（比如嵌入式或超大数组）：前缀和多占一份空间，O(n) 空间开销不是零成本
- 只是查一两次区间和：现场用
for循环累加反而更快，免去预处理和额外空间
真正要注意的是：前缀和不是银弹，它把时间换成了空间和静态性。边界偏移、类型溢出、维度对齐——这三个地方错一个，结果就全歪了。
