切换一个数字的第一个和最后一个位

The following article provides an in depth explanation of the method used to modify a number by toggling its first and last bit using bitwise operators. A bitwise operator is an operator that can be used to manipulate individual bits in binary numbers or bit patterns.

Problem Statement

For a given number n, modify the number such that the first and the last bit of the binary expansion of the new number are flipped i.e. if the original bit is 1 then the flipped bit should be 0 and vice versa. All the bits between the first and the last bit should be left unchanged.

Examples

Input: 13

Output: 4

Explanation

解释

The binary expansion of 13 is 1101.

在切换第一个和最后一个位之后，扩展变为0100，等于4。

因此，输出结果为4。

Input: 27

Output: 10

Explanation

解释

The binary expansion of 27 is 11011.

在切换第一个和最后一个位之后，扩展变为01010，等于10。

Hence the output is 10.

Input: 113

Output: 48

Explanation

解释

The binary expansion of 113 is 1110001.

On toggling the first and the last bit, the expansion becomes 0110000 which is equal to 48.

Hence the output is 48.

Solution Approach

This approach makes use of the bitwise XOR and left shift operator. If the corresponding bit of both operands is different, the bitwise XOR operator evaluates to 1; otherwise, it evaluates to 0. We'll employ the bitwise XOR operator's ability to toggle a bit. For instance, if the first bit of the number, n, is 1, then n ^ 1 will cause the number's first bit to be 0. In addition, if the number's first bit is set to 0, the operation n ^ 1 will change it to 1.

要翻转数字n的第一个位，我们计算n ^ 1。它执行一个异或操作，将n的最低有效位或第一个位与1进行反转。

为了翻转最后一位，我们生成一个只有最后一位被设置的数字k。最后一位的位置r等于log₂(n)。这是因为在n的二进制展开中使用了log₂(n)位。

The following steps are performed to implement this approach −

• If n = 1, display 0 and return.

• Toggle the first bit of the number by taking an XOR of the n with 1.

• 通过将n与1th位。

• Display the answer.

干跑

首先让我们了解按位异或（^）运算符的工作原理。

可以观察到，当flag的值为1时，输入的值会被反转。

考虑数字57。57的二进制展开式是111001。

考虑一个新的数字1。

要切换最低有效位或最左边的位，请执行57 ^ 1，结果为

The number 111000 is generated.

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现在，为了切换最后一位，我们修改数字1，使得最后一位被设置，而不是第一位。为了做到这一点，我们必须将1左移log₂(n)位，或者在这种情况下是log₂(57)，也就是5。在这样做之后，我们得到：

Computing XOR now gives us.

生成了数字01100，等于24。将其与原始数字57的二进制展开进行比较，可以观察到最终答案中的第一位和最后一位已经被切换。

因此，答案是24。

算法

函数 toggle_first_bit()

• Compute n ^ 1

• 更新 n

函数 toggle_last_bit()

• 初始化 r = log2(n)

• 初始化 k = 1

• 计算 n ^ k

• 更新 n

Function main()

• 初始化 n

• 如果 (n == 1)

return 0;

• Function call toggle_first_bit().

• 调用函数 toggle_last_bit()。

• 显示 n.

示例：C++程序

This program modifies an input number n by toggling the first and the last bit of its binary expansion. It employs bitwise operator XOR and left shift operator to achieve its goal.

// This C++ program toggles the first and the last bit of a number
#include 
#include 
using namespace std;
// this function flips the last bit of the number
// it uses the concept that a log(n) bits are used in the binary expansion of a number n
void toggle_last_bit(int& n){
   int r = log2(n); // value of r indicates the count of last bit of n
   int k; // generate a number with log(n) where only the last bit is 1 using the left shift operator
   k = 1 << r;
   n = n ^ k; // toggle the last bit of n by computing n XOR k
}

// this function flips the first bit of the number by computing n XOR 1
void toggle_first_bit(int& n){
   n = n ^ 1;
}
int main(){
   int n = 113;
   cout << "input number = 113" << endl;
   if(n == 1){
      cout << "0";
      return 0;
   }
   toggle_first_bit(n);  // function call to toggle first bit
   toggle_last_bit(n); // function call to toggle last bit
   cout << "Number after Toggle First and Last Bits of a Number: "<
输出
input number = 113
Number after Toggle First and Last Bits of a Number: 48

Time and Space Analysis
时间复杂度 - O(1)，因为该算法始终在常数时间内工作，与输入数字无关。
空间复杂度 - O(1)，因为在实现中没有使用辅助空间。
Conclusion
本文讨论了一种切换数字的第一个和最后一个位的方法。为了实现这一点，我们使用了位左移运算符来生成新的位模式，使用位异或运算符来计算结果。为了更深入地理解，详细解释了方法的概念、示例的演示、使用的算法、C++程序解决方案以及时间和空间复杂度分析。