方程 x = b*(sumofdigits(x) ^ a)+c 的整数解的数量

假设给定三个整数 a、b 和 c，并且有一个方程 x = b* (sumofdigits(x)^a) +c。 这里， sumofdigits(x ) 是x中所有数字的总和。为了找到满足方程的所有可能的积分解，我们将探索 C++ 中的各种方法。

输入输出场景

下面给出的是 a、b 和 c 的值。满足方程 x = b* (sumofdigits(x)^a) +c 的不同积分解作为输出给出。

Input: a = 2, b = 2, c = -3
Output: 125, 447, 575

在上述情况中，a的值为2，b的值为2，c的值为-3，而x的可能值为125、447和575。

考虑数字125，其各位数字之和为8，如果将这个值代入方程b*(sum(x)^a) +c，答案为125，与x相等。因此，它是方程的一个可能解。

注意- 该方程的积分解在 1 到 10⁹ 范围内。

使用递归

我们可以使用递归搜索来找到给定方程的积分解。

我们需要创建一个名为sumOfDigits()的函数，用于计算任何给定数字N的数字之和。

• 使用模运算符和除运算符迭代N 的数字。

• 模运算符用于提取N的最后一位数字。

• 在每次迭代后，将存储在变量 sum 中的数字逐个相加。

我们创建一个integralSolutions()函数来计算积分解。

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• 它使用sumOfDigits函数计算x的数字总和。

• 接下来，使用 for 循环我们将总和求 a 次方。

• 我们通过将b乘以power并加上c来评估方程的右侧。

• 如果x的值等于右侧的值，则被视为一个整数解。

接下来，我们有递归函数来搜索指定范围内的积分解。

示例

#include 
using namespace std;

int sumOfDigits(int N) {
   int sum = 0;
   while (N != 0) {
      sum += N % 10; // addition of the last digit of N
      N /= 10;
   }
   return sum;
}
void integralSolutions(int x, int a, int b, int c) {
   int sum = sumOfDigits(x);
   int power = 1;
   for (int j = 0; j < a; j++) {
      power *= sum;
   }
   int rightHandSide = b * power + c;
   if (x == rightHandSide) {
      std::cout << "Integral solution: " << x << std::endl;
   }
}
void recursion(int start, int end, int a, int b, int c) {
   if (start > end) {
      return;
   }
   integralSolutions(start, a, b, c);
   recursion(start + 1, end, a, b, c);
}
int main() {
   int a = 1, b = 3, c = 5;
   recursion(1, 100000, a, b, c);
   return 0;
}

输出

Integral solution: 11
Integral solution: 38

分段错误 当递归搜索中指定范围的结束值超过100000时，会出现此错误。因此，您不能有超过该值的x值。

使用简单迭代

如果你想要大于100000的x的整数解，那么我们不使用递归。在这里，我们将使用从1到109的x的简单迭代，并将其与方程的右侧值进行比较。

示例

#include 
using namespace std;

int sumOfDigits(int N) {
   int sum = 0;
   while (N != 0) {
      sum += N % 10;
      N /= 10;
   }
   return sum;
}

bool integralSolution(int x, int a, int b, int c) {
   int sum = sumOfDigits(x);
   int power = 1;
   for (int i = 0; i < a; i++) {
      power *= sum;
   }
   int rightHandSide = b * power + c;
   return x == rightHandSide;
}

int main() {
   int a = 3, b = 5, c = 8;
   // x ranges from 1 to 109
   for (int x = 1; x <= 1000000000; x++) {
      if (integralSolution(x, a, b, c)) {
         std::cout << "Integral solution: " << x << std::endl;
      }
   }
   return 0;
}

输出

Integral solution: 53248
Integral solution: 148963

结论

我们探索了寻找方程 x = b* (sumofdigits(x)^a) +c 积分解的方法，其中包括使用递归或简单迭代。递归方法允许您灵活地指定解的范围。但是，它增加了时间复杂度，并且可能会显示较大范围值的分段错误，从而导致堆栈溢出。

迭代方法在时间复杂度和内存使用方面都很高效。然而，它提供的灵活性有限且代码更复杂。因此，这两种方法都有各自的优点和缺点。根据您的需求，您可以选择任何一种方法。