C++如何求两个圆的交点坐标_C++计算几何基础算法实现【数学】

两圆相交当且仅当 |r1−r2| r1+r2 或 d

判断两圆是否相交及交点个数

两圆交点是否存在，取决于圆心距 d 与两半径 r1、r2 的关系。直接计算前必须先分类：
— 若 d > r1 + r2：外离，无交点；
— 若 d ：内含（或内离），无交点；
— 若 d == 0 && r1 == r2：同心圆重合，无穷多交点（通常视为退化情况，按题意忽略）；
— 其余情况：有 0、1 或 2 个交点。特别地，d == r1 + r2 或 d == abs(r1 - r2) 时为相切，仅 1 个交点。

用向量投影法解交点坐标（推荐）

设圆 A 圆心为 p1 = (x1, y1)，半径 r1；圆 B 圆心为 p2 = (x2, y2)，半径 r2。核心思路是：先求出两圆心连线上的垂足位置（即公共弦中点），再沿垂直方向偏移得到两个交点。
关键中间量：
— d = sqrt((x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1))（圆心距）；
— a = (r1*r1 - r2*r2 + d*d) / (2*d)（从 p1 到垂足的投影长度）；
— h = sqrt(r1*r1 - a*a)（垂足到交点的垂直距离）。
然后构造单位方向向量：
— 沿 p1→p2 方向单位向量：ex = ((x2-x1)/d, (y2-y1)/d)；
— 垂直单位向量：ey = (-ey.y, ey.x) 或直接用 (-(y2-y1)/d, (x2-x1)/d)。

两个交点为：
sol1 = p1 + a*ex + h*ey
sol2 = p1 + a*ex - h*ey

注意浮点误差与退化情形处理

实际编码中，h 可能因浮点误差变成极小负数（如 -1e-15），直接开方会得到 NaN。务必做容错判断：
— 计算 h_sq = r1*r1 - a*a 后，先检查 h_sq → 视为无交点；
— 若 h_sq 但大于 -1e-10，设 h = 0（即相切）；
— d 接近 0 时（同心），要单独判断避免除零；
— 所有比较都应使用带 epsilon 的近似判断，而非 ==。

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常见错误：
— 忘记对 h_sq 截断导致 sqrt(negative)；
— 单位向量未归一化（尤其当 d 很小时，未除 d 会导致方向错误）；
— 垂直向量构造符号写反（(dy, -dx) 是顺时针旋转90°，需确认是否符合你坐标系习惯）。

C++ 实现要点与轻量示例

无需依赖几何库，用 std::sqrt 和基本运算即可。结构建议封装为函数：

struct Point { double x, y; };
std::vector circle_intersection(Point p1, double r1, Point p2, double r2) {
    double dx = p2.x - p1.x, dy = p2.y - p1.y;
    double d = std::sqrt(dx*dx + dy*dy);
    if (d > r1 + r2 || d < std::abs(r1 - r2) || d < 1e-10) return {};
double a = (r1*r1 - r2*r2 + d*d) / (2*d);
double h_sq = r1*r1 - a*a;
if (h_sq zuojiankuohaophpcn -1e-10) return {};
double h = (h_sq zuojiankuohaophpcn 0) ? 0 : std::sqrt(h_sq);

Point ex = {dx/d, dy/d};
Point ey = {-dy/d, dx/d}; // 注意：这是左手法则下的垂直向量

Point p = {p1.x + a*ex.x, p1.y + a*ex.y};
std::vectorzuojiankuohaophpcnPointyoujiankuohaophpcn res;
res.push_back({p.x + h*ey.x, p.y + h*ey.y});
if (h youjiankuohaophpcn 1e-10) res.push_back({p.x - h*ey.x, p.y - h*ey.y});
return res;
}
这个实现没做输入校验，但覆盖了绝大多数实用场景。真正容易被忽略的是：垂直向量方向影响交点顺序，而某些题目（如求“上方交点”）会依赖该方向定义——务必根据你的坐标系 y 轴正向（屏幕坐标 vs 数学坐标）确认 ey 构造方式。