牛顿迭代法用python编写，其核心在于利用函数的切线逼近其根。
实现牛顿迭代法需要明确目标函数及其导函数。 假设我们要寻找函数f(x) = 0的根。牛顿迭代公式如下：
x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
其中，x_n是第n次迭代的近似解，x_(n+1)是下一次迭代的近似解，f'(x_n)是函数f(x)在x_n处的导数。
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编写Python代码时，我们需要定义目标函数和其导函数。 例如，假设我们想求解方程 x² - 2 = 0 (即求√2的近似值)。 那么我们的目标函数是 f(x) = x² - 2，其导函数是 f'(x) = 2x。
下面是一个Python函数的实现：
def newton_raphson(f, df, x0, tolerance=1e-6, max_iterations=100):
"""
牛顿迭代法求解方程f(x) = 0
Args:
f: 目标函数
df: 目标函数的导函数
x0: 初始猜测值
tolerance: 收敛容差
max_iterations: 最大迭代次数
Returns:
近似解或None(如果未收敛)
"""
x = x0
for i in range(max_iterations):
fx = f(x)
dfx = df(x)
if abs(fx) < tolerance:
return x
if dfx == 0:
return None #避免除零错误
x = x - fx / dfx
return None #如果超过最大迭代次数仍未收敛
# 求解x^2 - 2 = 0
def f(x):
return x**2 - 2
def df(x):
return 2*x
solution = newton_raphson(f, df, 1.0) #从1.0开始迭代
if solution is not None:
print(f"√2 的近似值: {solution}")
else:
print("未收敛")
这段代码定义了newton_raphson函数，它接受目标函数、导函数、初始猜测值以及收敛容差和最大迭代次数作为参数。 代码中包含了对除零错误的处理，以及迭代次数上限的设定，避免了无限循环。 我曾经在实际应用中，因为忘记设置最大迭代次数，导致程序卡死，因此这部分代码至关重要。
值得注意的是，初始猜测值x0的选择会影响收敛速度甚至是否收敛。一个好的初始猜测值能够显著提高效率。 例如，如果我们选择x0 = 100，程序仍然能够收敛到√2，但是迭代次数会比x0 = 1.0多很多。 这就像在山谷中寻找最低点，初始位置离最低点越近，找到最低点所需要的步骤就越少。
此外，牛顿迭代法并非总是收敛的，尤其当导函数在根附近接近于零时，或者初始猜测值选择不当，都可能导致算法发散。 因此，在实际应用中，需要谨慎选择初始值并结合其他方法进行验证。 我曾经尝试用牛顿迭代法求解一个复杂的非线性方程，因为初始值选择不当，导致算法反复震荡，最终无法收敛，最后不得不改用其他数值方法。 因此，对算法的理解和对参数的合理选择至关重要。
