long long无法计算1000位数相乘，因其最大仅支持约19位十进制数；需用字符串模拟竖式乘法，将数字转为低位在前的vector，双层循环累加至res[i+j]，最后统一处理进位并去除前导零。
为什么 long long 不能直接算 1000 位数相乘
因为 long long 最大只能表示约 19 位十进制数（2⁶³−1 ≈ 9.2×10¹⁸），一旦输入是“12345678901234567890...”这种几百位的字符串，连读入都溢出。C++ 标准库不提供内置高精度整型，必须手动模拟竖式乘法过程。
核心思路是：把数字当字符串读入 → 转成反向数组（个位在 index 0）→ 模拟手算乘法 → 处理进位 → 去前导零 → 转回字符串输出。
用 vector 存储并实现 multiply 函数
multiply 函数推荐用 vector 存低位到高位（即 digits[0] 是个位），避免每次插入头部的 O(n) 开销。乘法本质是两层循环：外层遍历被乘数每一位，内层遍历乘数每一位，结果累加到 res[i + j] 位置。
-
res[i + j]对应的是第 i 位（权重 10ⁱ）和第 j 位（权重 10ʲ）相乘后落在 10ⁱ⁺ʲ 上的贡献 - 进位统一在最后处理：从低位到高位，
res[k] % 10为当前位，res[k] / 10加给res[k+1] - 结果数组长度最多为
a.size() + b.size()，初始化时可设为该长度，全 0
示例关键片段：
立即学习“C++免费学习笔记（深入）”；
vectormultiply(const string& num1, const string& num2) { if (num1 == "0" || num2 == "0") return {0}; vector res(num1.size() + num2.size(), 0); for (int i = num1.size()-1; i >= 0; i--) { for (int j = num2.size()-1; j >= 0; j--) { int mul = (num1[i]-'0') * (num2[j]-'0'); int p1 = i + j, p2 = i + j + 1; // 对应十位和个位索引 int sum = mul + res[p2]; res[p2] = sum % 10; res[p1] += sum / 10; } } // 去前导零 int i = 0; while (i < res.size() && res[i] == 0) i++; if (i == res.size()) return {0}; return vector (res.begin() + i, res.end()); }
输入含负号、前导零或空串怎么处理
标准高精度乘法模板默认处理非负整数字符串。若输入可能带负号（如 "-123"），需提前提取符号并取绝对值；若含前导零（如 "00123"），应在转数字前用 stoi 或手动跳过（但注意全零情况）；空串必须判空，否则 .size() 调用未定义。
- 符号处理建议：用
bool neg = (num1[0] == '-') ^ (num2[0] == '-');，然后对两个字符串做substr剥离符号 - 全零判断不能只看首字符，要跳过所有前导零后检查是否为空或只剩 '0'，否则
"000"会变成空数组 - 如果输入保证是合法非负整数（如 OJ 题干明确），可省略这部分逻辑，专注核心乘法
性能瓶颈在哪？能不能用 FFT 加速
朴素模拟竖式是 O(n·m)，对 10⁵ 位数乘法会超时。此时需换用快速傅里叶变换（FFT）或其整数优化版本 NTT（数论变换），将时间降到 O(n log n)。但 FFT 实现有精度误差风险，NTT 需选模数和原根，且常数大、代码长，仅在严格时限下必要。
日常使用或算法题中，1000 位以内完全用不到 FFT；LeetCode Multiply Strings 测试点最大也就 200 位，朴素法足够。真遇到 10⁴+ 位，优先确认是否必须 C++ 实现——Python 的 int 本就支持无限精度，一行 str(int(a)*int(b)) 更可靠。
真正容易被忽略的是：进位处理必须从低位开始顺序扫，不能边算边进，否则高位进位会影响尚未计算的低位组合；还有结果数组初始长度必须开足，否则 res[p1] 可能越界。
