单射、满射、双射分别刻画函数输入与输出间的不同对应关系：单射要求不同输入对应不同输出，满射要求陪域每个元素都有原像，双射则兼具二者即一一对应且可逆。
如果您在学习函数映射时遇到“单射”“满射”“双射”等术语感到混淆，很可能是因为它们描述的是输入与输出之间不同的对应关系。以下是区分这三类映射的直观方式：
一、单射：不同输入 → 不同输出
单射强调的是“不重复”，即定义域中任意两个不同元素，其函数值绝不相同。它不要求所有陪域元素都被用到，只防止“一对多”——即多个输入指向同一个输出。
1、检查函数 f: A → B 是否满足：若 x₁ ≠ x₂，则必有 f(x₁) ≠ f(x₂)。
2、画出函数图像后，作任意一条水平线，若该线最多与图像相交一次，则该实数函数是单射。
3、代数验证：设 f(x₁) = f(x₂)，若能推出 x₁ = x₂，则函数为单射。
4、举例：f(x) = 2x（定义域与陪域均为自然数）是单射，因为1→2，2→4，3→6……每个输入产生唯一且互异的输出；但陪域中的奇数（如1、3、5）没有原像，故不是满射。
二、满射：陪域每个元素都有原像
满射关注的是“全覆盖”，即陪域（目标集合）中每一个元素，都至少被定义域中某个元素映射到。它允许不同输入映射到同一输出，但绝不允许陪域中存在“无人认领”的元素。
1、对任意 y ∈ B，验证是否存在 x ∈ A，使得 f(x) = y 成立。
2、计算函数实际的值域，并判断其是否等于指定的陪域；若值域 ⊂ 陪域，则不是满射。
3、在有限集合映射中，可列出陪域全部元素，逐一寻找对应原像。
4、举例：f(x) = x³（定义域与陪域均为实数）是满射，因为对任意实数 y，总存在实数 x = ∛y 满足 f(x) = y；但f(2) = f(-2) 不成立，而 f(1) = f(-1) 也不成立，此处无冲突，需注意该函数实为单射+满射（即双射）；更典型满射非单射的例子是 f(x) = x²（定义域为实数，陪域为非负实数），此时每个非负数 y 都有原像（±√y），但正负输入映射到同一输出，故非单射。
三、双射：单射 + 满射 = 一一对应
双射是单射与满射的合体，意味着定义域与陪域之间形成严格的一一配对：每个输入对应唯一输出，且每个输出都有唯一输入与之匹配。这种映射具备可逆性，存在反函数。
1、先验证是否为单射：确保无两个不同输入映射到同一输出。
2、再验证是否为满射：确保陪域中无遗漏元素。
3、若两条件同时满足，则为双射；此时函数图像与任意水平线和垂直线都仅有一个交点（在实数连续函数情形下）。
4、举例：f(x) = x + 5（定义域与陪域均为实数）是双射，因为x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)，满足单射；且对任意 y ∈ ℝ，取 x = y − 5 即得 f(x) = y，满足满射；因此定义域每个实数唯一对应陪域一个实数，且陪域每个实数都被恰好覆盖一次。
四、生活化类比辅助记忆
将定义域 A 视为“人”，陪域 B 视为“座位”，函数 f 表示“人坐座位”的规则：
1、单射：每人坐不同座位，但可能有空座位（如5人坐8座，无人重复，但3座空着）。
2、满射：每张座位都有人坐，但可能多人挤一张座（如5人坐3座，必有座位坐多人）。
3、双射：每人坐一张座，且无空座、无重座、人数与座位数完全相等。
五、快速判断流程图
面对一个具体函数 f: A → B，按顺序检验：
1、假设有 x₁, x₂ ∈ A 且 x₁ ≠ x₂，计算 f(x₁) 和 f(x₂)；若恒有 f(x₁) ≠ f(x₂)，则进入下一步；否则为非单射。
2、任取 y ∈ B，尝试解方程 f(x) = y；若对每个 y 都能找到 x ∈ A 满足等式，则进入下一步；否则为非满射。
3、若前两步均通过，则该函数是双射；若仅第一步通过，是单射非满射；若仅第二步通过，是满射非单射；若两步均失败，则既非单射也非满射。
