三角函数和差公式的推导，基于单位圆和坐标系的几何关系。
理解和差公式的关键在于，将角度的加减转化为坐标点的几何关系。我们不直接从抽象的公式入手，而是从更直观的几何图像出发。想象一个单位圆，圆心位于坐标系的原点(0,0)。 任意一个角度θ，都对应着单位圆上一个点(cosθ, sinθ)。 现在，我们考虑两个角度α和β的和与差。
为了推导和角公式cos(α+β)，我们可以考虑两个角度α和β在单位圆上对应的点A和B。点A的坐标是(cosα, sinα)，点B的坐标是(cosβ, sinβ)。连接OA和OB，形成两个向量。通过向量运算，我们可以计算出向量OA旋转β角度后，终点C的坐标。这个坐标正是(cos(α+β), sin(α+β))。 具体操作上，需要用到向量旋转的公式，这涉及到坐标的旋转变换。 我曾经在帮助一位学生理解这个过程时，发现他卡在了坐标旋转的矩阵表示上。 我们花了些时间，从最基本的旋转变换入手，一步步推导出最终的坐标表达式，才最终让他理解了整个推导过程。 这提醒我，在学习过程中，扎实的基础知识非常重要，切勿跳步。
类似地，我们可以通过向量运算推导出sin(α+β)。 这里需要注意的是，在进行坐标计算时，很容易出现符号错误。 我曾经自己就因为粗心大意，在计算过程中漏掉了一个负号，导致最终结果错误，耽误了不少时间。 因此，建议在推导过程中，仔细检查每一个步骤，确保符号的准确性。
差角公式的推导方法与和角公式类似，只是将β替换为-β，利用cos(-β) = cos(β) 和 sin(-β) = -sin(β) 的性质即可。 这部分推导相对简单，但仍然需要注意细节，避免计算错误。
总而言之，三角函数和差公式的推导依赖于对单位圆上坐标的几何理解和向量运算。 掌握坐标旋转和向量运算的知识是理解整个推导过程的关键。 在学习过程中，务必注重细节，仔细检查每一个步骤，才能最终掌握这些公式的推导过程。 切记，数学学习是一个循序渐进的过程，扎实的基础是成功掌握更复杂知识的关键。
